generalidades


Anexo 1.

1. Generalidades de Matemática

1. CONJUNTOS
Generalidades
Definimos los conceptos fundamentales del tema como conjunto, elemento, determinación de un conjunto por extensión, por comprensión y estudiamos la igualdad de dos conjuntos.
Sin embargo, en el desarrollo de este estudio, veremos que la noción de la matemática de conjunto es más amplia. Se puede hablar, en matemáticas,de conjunto unitario, conjunto vacío, conjunto finito.
Conjuntos y elementos

Intuitivamente, un conjunto es cualquier colección de objetos que pueda tratarse como una entidad.

A cada objeto de la colección lo llamaremos elemento o miembro del conjunto.
A los conjuntos los designaremos con letras mayúsculas y a sus elementos con letras minúsculas. La afirmación “el elemento a pertenece alconjunto A” se escribe

a ∈ A

y la negación de este hecho, ¬(a ∈ A), se escribe

a /∈ A

La definición de un conjunto no debe ser ambigua en el sentido de que pueda decidirse cuando un objeto particular pertenece, o no, a un conjunto.

Subconjuntos
Sean A y B dos conjuntos. Diremos que A está contenido en B o que es un subconjunto de B, y lo notaremos por A ⊆ B, si cada elemento de Aes un elemento de B, es decir, A ⊆ B ⇐⇒ ∀x(x ∈ A =⇒ x ∈ B)
También puede decirse que B contiene a A, en cuyo caso escribiremos B ⊇ A.

Ejemplo
Probar que el conjunto A = x ∈ R : x 2 − 3x + 2 = 0 es subconjunto del B = {1,2,3}



Solución.

En efecto, sea a un elemento cualquiera de R, o sea, un número real arbitrario. Entonces,

a ∈ A ⇐⇒ a 2 − 3a + 2 = 0 ⇐⇒ a = 2 ´o a = 1 =⇒ a ∈ BLuego
∀x(x ∈ A =⇒ x ∈ B) y según la definición anterior, A ⊆ B.



2. RELACIONES Y FUNCIONES

Definición: Se llama producto cartesiano del conjunto de partida A por el conjunto de llegada B (notación: AxB) a un conjunto de pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y cuyo segundo componente es un elemento de B.

Ejemplo:
A = {a,b,c}
B = {1,2,3,4}

AxB = {(a,1),(a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4)}
Obsérvese que los elementos de AxB son ahora pares ordenados. Por ejemplo, el par (a,3) pertenece al producto cartesiano, mientras que el par (3,a) no pertenece al producto cartesiano. Por lo dicho, en general, AxB ≠ BxA.

Si A y B son finitos, entonces el número de elementos de AxB es el producto del número de elementosde A por el número de elementos de B.

Definición: Se llama relación de A en B a una terna ordenada [A, B, G] donde G es un conjunto de pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B. El conjunto G se llama gráfico de la relación de A en B.

Definición: Se llama función de A en B a toda “relación de A en B” que cumple con dos condiciones:

a) Todo elemento de A tiene sucorrespondiente en B en el gráfico de la función.
b) Cada elemento de A tiene un único correspondiente en B en dicho gráfico.

Notación: [A, B, f ] donde A es el dominio o conjunto de partida, B es el codominio o conjunto de llegada y “f” es el gráfico de la función.



El conjunto de valores de f, elementos del codominio a los que llegan flechas, se denomina conjunto imagen de f.

Imagende f = {z: z pertenece a B y existe x en A tal que f(x) = z}= f(A)

Definición: f es una función inyectiva de A en B si dos elementos distintos de A tienen imágenes distintas en B. f es inyectiva ↔ [x ≠ y → f(x) ≠ f(y)]



3. CONJUNTOS NUMÉRICOS. OPERACIONES CON NÚMEROS

Los números naturales (notación: N). Ellos son:
0, 1, 2, 3, 4, 5,.....

Los puntos suspensivos indican que se tratade un conjunto infinito. Para un natural dado (tan grande como se quiera), siempre es posible encontrar un natural más grande. Sin embargo, entre dos naturales no siempre es posible encontrar otro natural (entre el 4 y el 5 no hay ningún natural).

El resultado de sumar o multiplicar dos naturales es siempre otro número natural.
Pero la resta de naturales o la división no tienen, siempre, un...