geodeciso
Páginas: 3 (515 palabras)
Publicado: 13 de julio de 2014
MATEMATICA IV
Longitud de Arco y Curva
Definición: Suponga que la curva tiene la ecuación vectorial ( )
o bien de manera equivalente, las ecuaciones
( ( ) ( ) ( ))
( )
( )
( ) dondeparamétricas
son
continuas. Se define la longitud de arco desde
hasta
como:
∫ √[ ( )]
[ ( )]
[ ( )]
O
∫ | ( )|
Ejemplo: Calcule la longitud del arco de la hélice circular de la ecuaciónvectorial
punto (
Solución:
Puesto que
( )
⃗
⃗⃗
⃗
desde el punto (
) hasta el
)
( )
⃗
| ( )|
El arco desde (
√(
⃗
)
⃗⃗
(
entonces
)
√
) hasta (
)se describe mediante el intervalo del
∫ | ( )|
∫ √
parámetro
Lic. Ysela Mariell Alva Ventura
√
MATEMATICA IV
Una parametrización ( ) se denomina suave en un intervalo si
escontinua. Una curva se llama suave si tiene una parametrizacion suave. Una
curva suave no tiene puntos o cúspides agudos; cuando gira el vector tangente,
lo hace en forma continua. Si
es una curvasuave definida por la función
vectorial , recuerde que el vector unitario tangente ( ) está definido por:
( )
( )
| ( )|
e indica la dirección de la curva.
La curvatura de en un punto dado se definecomo la magnitud de la tasa de
cambio del vector unitario tangente con respecto a la longitud de arco. Así,
( )
| ( )|
| ( )|
Observación:
1. La curvatura de la curva dada por la funciónvectorial
| ( )
( )|
| ( )|
( )
Ejemplo: Calcule la curvatura de la cubica alabeada o girada
(
) en un punto general y en (
)
Solución:
Primero se calcula los elementos requeridos( )
(
( )
(
| ( )|
Lic. Ysela Mariell Alva Ventura
( ) es
√
)
)
( )
MATEMATICA IV
( )
( )
| ( )
|
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
|
√
( )|
⃗⃗
⃗
√Reemplazando
( )
En el origen donde
| ( )
( )|
√
| ( )|
(
la curvatura es ( )
)
Se define el vector normal unitario como
( )
| ( )|
( )
donde
( ) es ortogonal a ( )....
Longitud de Arco y Curva
Definición: Suponga que la curva tiene la ecuación vectorial ( )
o bien de manera equivalente, las ecuaciones
( ( ) ( ) ( ))
( )
( )
( ) dondeparamétricas
son
continuas. Se define la longitud de arco desde
hasta
como:
∫ √[ ( )]
[ ( )]
[ ( )]
O
∫ | ( )|
Ejemplo: Calcule la longitud del arco de la hélice circular de la ecuaciónvectorial
punto (
Solución:
Puesto que
( )
⃗
⃗⃗
⃗
desde el punto (
) hasta el
)
( )
⃗
| ( )|
El arco desde (
√(
⃗
)
⃗⃗
(
entonces
)
√
) hasta (
)se describe mediante el intervalo del
∫ | ( )|
∫ √
parámetro
Lic. Ysela Mariell Alva Ventura
√
MATEMATICA IV
Una parametrización ( ) se denomina suave en un intervalo si
escontinua. Una curva se llama suave si tiene una parametrizacion suave. Una
curva suave no tiene puntos o cúspides agudos; cuando gira el vector tangente,
lo hace en forma continua. Si
es una curvasuave definida por la función
vectorial , recuerde que el vector unitario tangente ( ) está definido por:
( )
( )
| ( )|
e indica la dirección de la curva.
La curvatura de en un punto dado se definecomo la magnitud de la tasa de
cambio del vector unitario tangente con respecto a la longitud de arco. Así,
( )
| ( )|
| ( )|
Observación:
1. La curvatura de la curva dada por la funciónvectorial
| ( )
( )|
| ( )|
( )
Ejemplo: Calcule la curvatura de la cubica alabeada o girada
(
) en un punto general y en (
)
Solución:
Primero se calcula los elementos requeridos( )
(
( )
(
| ( )|
Lic. Ysela Mariell Alva Ventura
( ) es
√
)
)
( )
MATEMATICA IV
( )
( )
| ( )
|
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
|
√
( )|
⃗⃗
⃗
√Reemplazando
( )
En el origen donde
| ( )
( )|
√
| ( )|
(
la curvatura es ( )
)
Se define el vector normal unitario como
( )
| ( )|
( )
donde
( ) es ortogonal a ( )....
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