geologia 1 año

N´meros Complejos
u
Un numero complejo es cualquier numero de la forma x + yi, donde x,
´
´

y son

numeros reales y donde i es la unidad imaginaria caracterizada por la propiedad
´

Ingenier´a Ambiental, Geolog´a
ı
ı

2011

i2 = i · i = −1. El conjunto de todos los numeros complejos se denota por C.
´
´
´
Notacion. Para indicar un numero complejo x + yi frecuentemente seusara una
´

Algebra y Trigonometr´a
ı

sola letra, por ejemplo z ; escribiremos

Numeros Complejos
´

z = x + yi.

= x + yi, al numero real x se llama parte real de z y al numero real y
´
´
la parte imaginaria de z , se denotan por Re(z) y Im(z), respectivamente.

Cuando z

Prof. Manuel Campos P.
´
Depto. de Ingenier´a Matematica, U. de C.
ı

Igualdad. Sean

w = a + bi y z= x + yi numeros complejos. Entonces,
´
w = z ⇐⇒ a = x ∧ b = y.

MCP

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´
DIM – Universidad de Concepcion.

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N´meros Complejos
u

´
mismas propiedades que la suma y la multiplicacion de numeros reales.
´

Si

´
DIM – Universidad de Concepcion.

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· : C × C → C,

Producto:

La suma y el producto de numeros complejos, que se definen en seguida,tienen las
´

+ : C × C → C,

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N´meros Complejos
u

Operaciones de suma y producto

Suma:

MCP

Si

(z1 , z2 ) −→ z1 ·z2 ,

z1 = x + yi y z2 = a + bi, entonces:
z1 ·z2 = (x + yi) · (a + bi) := (xa − yb) + (xb + ya)i

(z1 , z2 ) −→ z1 +z2 ,

Propiedades. ∀z, z1 , z2 , z3 ∈ C, se tiene:

z1 = x + yi y z2 = a + bi, entonces:
z1 +z2 = x + yi + a + bi := (x + a) +(y + b)i

• z1 · z2 = z2 · z1

(Conmutatividad)

• z1 · (z2 · z3 ) = (z1 · z2 ) · z3
• ∃1∈C: 1·z =z

Propiedades ∀z, z1 , z2 , z3 ∈ C, se tiene:

• z1 + z2 = z2 + z1

(Conmutatividad)

• z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3
• ∃0∈C: z+0=z

MCP

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(Asociatividad)
(0

• ∃ (−z) ∈ C : z + (−z) = 0

:= 0 + 0i Neutro aditivo)
(−z Inverso aditivo)

-3-(Asociatividad)

´
DIM – Universidad de Concepcion.

• ∃z

−1

∈C: z·z

−1

(1

=1

(z

:= 1 + 0i neutro multiplicativo)

−1

inverso multiplicativo de z

= 0)

´
Ademas, se tiene:

• z1 ·(z2 + z3 ) = z1 ·z2 + z1 ·z3

(Distributividad de · con respecto a +)

C con sus operaciones + y · se denota (C, +, ·). Las nueve
propiedades anteriores muestran que (C, +, · ) es uncuerpo conmutativo.
El conjunto

MCP

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´
DIM – Universidad de Concepcion.

N´meros Complejos
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Observaciones

N´meros Complejos
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• Los elementos neutros y los inversos son unicos.
´

Teorema. Cada numero real x se identifica con el numero complejo x + 0i.
´
´

• Sean w = a + bi y z = x + yi ∈ C. Entonces el inverso aditivo de z es:
´
−z := −x − yi yademas

w − z := w + (−z) = (a−x)+ (b−y)i.

x = x + 0i,

1 = 1 + 0i,

0 = 0 + 0i.

• Para w = a + bi y z = x + yi = (0, 0), el inverso multiplicativo de z es:
z −1 ≡

1
x
−y
+ 2
i.
:= 2
2
z
x +y
x + y2

´
Ademas,

1
ax + by
bx − ay
w
:= w ·
+ 2
i.
= 2
z
z
x + y2
x + y2

MCP

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´
DIM – Universidad de Concepcion.

Producto de un numeroreal y un numero complejo.
´
´
Para

MCP

λ ∈ I y z = x + yi ∈ C: λ · z = (λx) + (λy)i.
R

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´
DIM – Universidad de Concepcion.

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N´meros Complejos
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N´meros Complejos
u

Conjugado de un numero complejo
´

´
Modulo de un numero complejo
´

El conjugado del numero z
´

= x + yi es el numero complejo z definido por:
´

´
El modulo del numero z
´= x + yi es el numero real |z|, no negativo, definido por:
´
|z| :=

z := x − yi.
Propiedades. Para z

Propiedades. Para z, w

= x + yi, w ∈ C se tiene:

´
• |z| = 0 s´ y solo s´ z = 0.
ı
ı

• z + z = 2x = 2Re(z), z − z = 2yi = 2Im(z)i.
• z · z = x2 + y 2 .

• |z + w| ≤ |z| + |w|.

• z + w = z + w.

• |zw| = |z||w|,

• zw = z · w.

• Re(z) ≤ |z|,

• z = z ⇐⇒ z = x...