Geometría Métrica De Superficies

Tema 8 Superficies. Geometr´ m´trica ıa e
Dpto. Matem´tica Aplicada I a E.T.S. de Arquitectura Universidad de Sevilla

Tema 8. Superficies. Geometr´ m´trica ıa e
1. Curvas sobre superficies

Dada una superficie regular de ecuaci´n vectorial o − (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) , con (u, v) ∈ D ⊆ R2 → r (1)

cualquier curva contenida en dicha superficie debe satisfacer la ecuaci´n (1) ypuede venir o dada de alguno de los siguientes modos: (a) Si expresamos los par´metros u y v como funciones de un tercer par´metro t, esto a a es, u = u(t) y v = v(t), sustituyendo en (1), tenemos − (t) = →(u(t), v(t)) = (x (u(t), v(t)) , y (u(t), v(t)) , z (u(t), v(t))) → − r r cuyo vector tangente es

− d→ → du − dv r =−u r + →v r dt dt dt

→ En general, puesto que el vector tangente a unacurva − viene dado por la derivada r → de dicho vector − respecto a cualquier par´metro en el que venga definida, usaremos r a la expresi´n o − → → d→ = − u du + − v dv r r r (2)

→ → que representa las coordenadas cartesianas de dicho vector. Obs´rvese que − u y − v e r r son elementos de la superficie, mientras que du y dv son elementos de la curva. De hecho, n´tese en (2) que el vector tangenteviene expresado como combinaci´n lineal o o → → de − u y − v , por lo que diremos que (du, dv) son las coordenadas param´tricas de r r e → − dicho vector respecto de la base {− u , →v } y, en consecuencia, (du, dv) es la direcci´n r r o del vector tangente a la curva respecto de la base anterior.

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(b) Si uno de los dos par´metros viene expresado como funci´n del otro, por ejemplo, a o du ,se cumple que du = u dv, por lo que u = u(v), entonces, denotando por u = dv sustituyendo en (2), tenemos que → → → → → d− = − u du + − v dv = (− u u + − v ) dv r r r r r y (du, dv) = (u , 1)dv → → es decir, en coordenadas cartesianas, la direcci´n del vector tangente es − u u + − v , o r r mientras que en param´tricas la direcci´n es (u , 1). El razonamiento es an´logo si e o a expresamos v =v(u). (c) Cuando los par´metros u y v est´n relacionados mediante una funci´n impl´ a a o ıcita f (u, v) = 0. En este caso, si fv = 0, aplicando el Teorema de la Funci´n Impl´ o ıcita, existe v = v(u) (aunque nosotros no seamos capaces de despejar v como funci´n de o fu u) y adem´s, dv = − du. En tal caso, sustituyendo en (2), el vector tangente en a fv cartesianas resulta ser f → → → → → d− = − u du+ − v dv = − u du + − v − u r r r r r fv mientras que en param´tricas, e (du, dv) = fu fv 1, − fu fv du f → → du = − u + − v − u r r fv du

con lo que su direcci´n es o

1, −

≈ (fv , −fu )

1.1.

Algunos tipos de curvas sobre superficies

Para finalizar esta secci´n de curvas sobre superficies, vamos a ver algunos tipos imporo tantes de curvas. Sea S una superficie regular de ecuacionesparam´tricas e → − (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) , con (u, v) ∈ D ⊆ r
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(1) Curvas coordenadas. (a) Fijado un valor cualquiera u = u0 , definimos la curva → − u (v) = − (u0 , v) = (x(u0 , v), y(u0 , v), z(u0 , v)) → r 0 r Su vector tangente, en este caso, es → → → → d− = − u du + − v dv = − v dv r r r r ya que du = 0, puesto que u es constante. Por tanto, su direcci´n en cartesianases o → − v , mientras que en param´tricas, (du, dv) = (0, dv) ≈ (0, 1) por lo que la direcci´n r e o es (0, 1). (b) Fijado un valor cualquiera v = v0 , definimos la curva → − v (u) = − (u, v0 ) = (x(u, v0 ), y(u, v0 ), z(u, v0 )) → r 0 r Su vector tangente, en este caso, es → → → → d− = − u du + − v dv = − u du r r r r ya que dv = 0, puesto que v es constante. Por tanto, su direcci´n encartesianas o → es − u , mientras que en param´tricas, (du, dv) = (du, 0) ≈ (1, 0) por lo que en este r e caso, la direcci´n es (1, 0). o → → Definici´n 1.1 A las curvas − u0 (v) y − v0 (u), con (u0 , v0 ) ∈ D ⊆ o r r o l´ ıneas coordenadas.

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se les llaman curvas

Obs´rvese que por cada punto P de la superficie pasa una unica curva coordenada e ´ → → del tipo − u (v) y una unica curva coordenada...