geometria 2

Notras de Clase
Geometría II
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANSISCO JOSÉ DE CALDAS

Facultad de Ciencias y Educación

Proyecto Curricular de Matemáticas

Profesores:
Luis Fernando Villarraga Poveda
Heber Sarmiento Barrera
2013

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Índice general
1.

Números Complejos
1.1. El conjunto de los Números Complejos . . .
1.1.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Operacionesen Complejos . . . . . .
1.2. Estructura Algebráica de los Complejos . . .
1.2.1. Propiedades para el producto . . . . .
1.3. El Plano Complejo . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Forma Polar de un Número Complejo . . . .
1.5. Raices de un Número Complejo . . . . . . . .
1.6. Forma Exponencial de un Número Complejo
1.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Números Complejos
1.1.

El conjunto de los Números Complejos

1.1.1.

Definición

Un número complejo z en forma binómica está dado por:
z = x + yi
en donde x, y son nú?meros reales, x es la parte real y notada por Re(z), e y laparte imaginaria notada
Im(z), luego z = Re(z) + Im(z)i, de esta forma, se tiene el conjunto de los números complejos:
C = {z = x + yi | x, y ∈ R}
como x, y ∈ R, se tiene que: si y = 0, z = x + 0i = x y x ∈ R, teniendo así, el conjunto de los números reales
como subconjunto de los números complejos (un número complejo con parte imaginaria cero es un real ),
si x = 0, z = 0 + yi = yi elnúmero se denomina imaginario (número con parte real cero).
Si z1 = x1 + y1 i y z1 = √2 + y2 i números complejos, z1 = z2 si y sólo √ x1 = x2 y y1 = y2 , por ejemplo
x
si
√
√
1
1
2
3
1
2
1
3
z1 = √ + √ i y z2 =
+
i, z1 = z2 ya que: √ =
y√ =
.
2
3
2
3
3
3
2
2

1.1.2.

Operaciones en Complejos

las operaciones de suma y producto (leyes de composición), en el conjunto de losnúmeros reales se extienden al conjunto de los números complejos ya que:
Dados dos números complejos z1 = x1 + y1 i y z2 = x2 + y2 i la suma y el producto en C, se definen de la
siguiente manera:
suma:
z1 + z2 = ( x1 + y1 i ) + ( x2 + y2 i ) = x1 + x2 + ( y1 + y2 ) i
producto:
z1 × z2 = ( x1 + y1 i ) × ( x2 + y2 i ) = x1 × x2 − y1 × y2 + ( x1 × y2 + y1 × x2 ) i

= ( x1 + y1 i ) × ( x2 + y2i ) = x1 x2 − y1 y2 + ( x1 y2 + y1 x2 ) i
Para el caso de números complejos con parte imaginaria cero se tiene que:

( x1 + 0i ) + ( x2 + 0i ) = ( x1 + x2 ) + (0 + 0)i = x1 + x2
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CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS

( x1 + 0i ) · ( x2 + 0i ) = ( x1 · x2 ) + (0 · 0)i = x1 + x2
luego el cuerpo de los números reales R es un subconjunto de los números complejos.
Para el caso de númerosimaginarios se tiene que:

(0 + y1 i )(0 + y2 i ) = (0 · 0 − y1 · y2 + (0 · y2 + y1 · 0)i )
= − y1 · y2
como se puede ver, el producto de dos números imaginarios es un número real, en este sentido se pueden
tener las potencias de la unidad imaginaria.
i · i = i2 = −1 ya que: (0 + 1i ) · (0 + 1i ) = (0 · 0 − 1 · 1) + (0 · 1 + 1 · 0)i = 0 − 1 + 0 · i = −1,
i3
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= i2 · i...