Geometria basica
Páginas: 7 (1636 palabras)
Publicado: 7 de septiembre de 2012
GEOMETRÍA BÁSICA
14. Teorema de Tales
Corresponde a la sesión de GA 2.14 BUENA TRIANGULACIÓN El filósofo y matemático griego Tales de Mileto fue uno de los siete sabios más grandes de la antigüedad. El teorema de Tales, llamado así en su memoria, es una parte fundamental en el estudio de la semejanza. A él se debe una de las numerosas aplicaciones que tiene la semejanza, que es ladeterminación de la distancia entre dos puntos inaccesibles entre sí; para ello se dice que calculó la altura de una de las pirámides de Egipto sin medirla directamente, basándose en la longitud de la sombra de su bastón; así logró realizar una brillante triangulación
El teorema de Tales afirma: Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, la razón entre las medidas de dos segmentos cualesquieracortados por una transversal será igual a la razón de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es decir, son proporcionales. Al trazar el ángulo TOS y dividir la recta OT en tres segmentos en donde cada división se marca con los puntos P, Q y R, si se trazan paralelas que corten a OT y OS por lo puntos P, Q y R, se originan los puntos U, V, W.
En la figura las medidas de lossegmentos son las siguientes: OP=2cm; PQ=2.5cm; QR=3cm
OU=3cm; UV=3.75cm; V W=4.5cm Al establecer proporciones con las medidas, se observa que:
es decir que las medidas de los segmentos correspondientes, son proporcionales.
En esta otra figura, al medir los segmentos MN, MN' NP y NP', se puede observar que las medidas son proporcionales:
al comprobar que los segmentos sonproporcionales, se puede afirmar que las rectas NN' y PP' son paralelas. Así que: Si una recta intriseca a dos lados de un triángulo, y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado. Como consecuencia del teorema de Tales, se puede enunciar el teorema fundamental de semejanza de triángulos. Toda paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos en segmentosproporcionales, por lo que forman un triángulo semejante al primero. Obsérvese el triángulo PQR, al trazar la recta TS paralela al lado RP se puede demostrar que:
por tener los lados proporcionales y los ángulos homólogos congruentes. RP II TS El ángulo Q es común a los dos triángulos
Los triángulos PQR y SQT tienen ángulos congruentes. Además:
por el teorema de Tales Para obtener laproporcionalidad entre los segmentos, se traza la recta VS, paralela a RQ.
Pero en el paralelogramo STRV, RV = TS. Se puede sustituir:
así que los lados de los triángulos PQR y SQT son proporcionales Por lo tanto porque sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos proporcionales.
15. Teorema de Pitágoras
Corresponde a la sesión de GA 2.15 DIMENSIÓN DESCONOCIDA El teoremade Pitágoras ha sido una herramienta muy importante en el conocimiento y cálculo de grandes distancias. Este teorema dice que en un triángulo rectángulo la suma del área de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa. Una de esas demostraciones puede hacerse con base en el teorema de semejanza de triángulos. Véase:
Si el El
ABC esrectángulo, entonces (AC)² + (CB)² = (AB)² es decir, b² + a² = c² por el teorema de triángulos semejantes, que dice:
Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, los dos triángulos formados son semejantes entre sí, y semejantes al triángulo dado.
Como:
, entonces cn = a²
, entonces cm = b² Al sumar las igualdades cn = a² y cm = b², se tiene: cn + cm = a² + b²Si se factoriza el primer miembro de esta igualdad, se tiene: c (n + m) = a² + b² Pero, n + m = c, entonces (c) (c) = a² + b² , por lo tanto: c² = a² + b² Una aplicación de dicho teorema puede observarse en el siguiente ejemplo:
Se quiere conocer el área de un terreno en forma de triángulo isósceles y se tiene que la medida de los dos lados iguales es 15 m y la del tercero es 24 m. Como...
14. Teorema de Tales
Corresponde a la sesión de GA 2.14 BUENA TRIANGULACIÓN El filósofo y matemático griego Tales de Mileto fue uno de los siete sabios más grandes de la antigüedad. El teorema de Tales, llamado así en su memoria, es una parte fundamental en el estudio de la semejanza. A él se debe una de las numerosas aplicaciones que tiene la semejanza, que es ladeterminación de la distancia entre dos puntos inaccesibles entre sí; para ello se dice que calculó la altura de una de las pirámides de Egipto sin medirla directamente, basándose en la longitud de la sombra de su bastón; así logró realizar una brillante triangulación
El teorema de Tales afirma: Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, la razón entre las medidas de dos segmentos cualesquieracortados por una transversal será igual a la razón de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es decir, son proporcionales. Al trazar el ángulo TOS y dividir la recta OT en tres segmentos en donde cada división se marca con los puntos P, Q y R, si se trazan paralelas que corten a OT y OS por lo puntos P, Q y R, se originan los puntos U, V, W.
En la figura las medidas de lossegmentos son las siguientes: OP=2cm; PQ=2.5cm; QR=3cm
OU=3cm; UV=3.75cm; V W=4.5cm Al establecer proporciones con las medidas, se observa que:
es decir que las medidas de los segmentos correspondientes, son proporcionales.
En esta otra figura, al medir los segmentos MN, MN' NP y NP', se puede observar que las medidas son proporcionales:
al comprobar que los segmentos sonproporcionales, se puede afirmar que las rectas NN' y PP' son paralelas. Así que: Si una recta intriseca a dos lados de un triángulo, y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado. Como consecuencia del teorema de Tales, se puede enunciar el teorema fundamental de semejanza de triángulos. Toda paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos en segmentosproporcionales, por lo que forman un triángulo semejante al primero. Obsérvese el triángulo PQR, al trazar la recta TS paralela al lado RP se puede demostrar que:
por tener los lados proporcionales y los ángulos homólogos congruentes. RP II TS El ángulo Q es común a los dos triángulos
Los triángulos PQR y SQT tienen ángulos congruentes. Además:
por el teorema de Tales Para obtener laproporcionalidad entre los segmentos, se traza la recta VS, paralela a RQ.
Pero en el paralelogramo STRV, RV = TS. Se puede sustituir:
así que los lados de los triángulos PQR y SQT son proporcionales Por lo tanto porque sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos proporcionales.
15. Teorema de Pitágoras
Corresponde a la sesión de GA 2.15 DIMENSIÓN DESCONOCIDA El teoremade Pitágoras ha sido una herramienta muy importante en el conocimiento y cálculo de grandes distancias. Este teorema dice que en un triángulo rectángulo la suma del área de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa. Una de esas demostraciones puede hacerse con base en el teorema de semejanza de triángulos. Véase:
Si el El
ABC esrectángulo, entonces (AC)² + (CB)² = (AB)² es decir, b² + a² = c² por el teorema de triángulos semejantes, que dice:
Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, los dos triángulos formados son semejantes entre sí, y semejantes al triángulo dado.
Como:
, entonces cn = a²
, entonces cm = b² Al sumar las igualdades cn = a² y cm = b², se tiene: cn + cm = a² + b²Si se factoriza el primer miembro de esta igualdad, se tiene: c (n + m) = a² + b² Pero, n + m = c, entonces (c) (c) = a² + b² , por lo tanto: c² = a² + b² Una aplicación de dicho teorema puede observarse en el siguiente ejemplo:
Se quiere conocer el área de un terreno en forma de triángulo isósceles y se tiene que la medida de los dos lados iguales es 15 m y la del tercero es 24 m. Como...
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