Geometria De Espacios Afines Y Euclideos

Índice de contenidos

DESARROLLO DE LOS OBJETIVOS DEL TRABAJO 4
EJERCICIO DE DIAGONALIZACIÓN…………………………………………………………. 4
ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO………………………………………………………….. 14
ANTECEDENTES HISTÓRICOS 16
CUERPO DEL TRABAJO 18
PRODUCTOR ESCALAR 18
NORMA Y DISTANCIA EUCLIDEAS 18
NORMA O LONGITUD DE UN VECTOR 19
Propiedades de la norma 19DISTANCIA ENTRE DOS VECTORES 19
ORTOGONALIDAD 19
BASES ORTOGONALES Y ORTONORMALES 20
SISTEMAS ORGONALES Y ORTONORMALES SEGÚN EL PROCESO DE GRAM-SCHMIDT 20
PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS ORTOGONALES 21
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN VECTOR 21
PROCESO DE ORTOGONALIZACION DE GRAM-SCHMIDT 21
ORTOGONALIDAD 23
INTRODUCCIÓN 24
CUERPO DEL TRABAJO 25
Aplicaciones ortogonales. 25Transformaciones ortogonales. 25
Matrices ortogonales. 25
Método de diagonalización de una matriz cuadrada simétrica. 26
GEOMETRÍA EN ESPACIOS AFINES Y EUCLÍDEOS………………………………….. 27
INTRODUCCIÓN 29
ANTECEDENTES HISTÓRICOS 29
DEFINICIONES BÁSICAS 30
SISTEMAS DE REFERENCIA 31
CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA 31
ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS 32Ecuaciones de la recta 32
Ecuaciones del plano 33
Posiciones relativas de rectas y planos 33
Paralelismo y ortogonalidad entre rectas y planos 33
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN IR3 34
Distancia entre puntos, rectas y planos 34
Distancia de un punto a una recta 34
Distancia de un punto a un plano 34Distancia entre dos planos paralelos 34
Distancia entre una recta y un plano paralelos 34
Ángulos entre rectas y planos 35
Movimientos o isometrías del espacio 35
Translaciones 36
Isometrías lineales 36
OTRAS TRANSFORMACIONES DEL ESPACIO……………………………………………….38
Homotecias 39
Semejanzas.41
APLICACIONES 41
BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………………………… 42
 
DESARROLLO DE LOS OBJETIVOS DEL TRABAJO

Con lo que con este trabajo se pretende es:
Por una parte, con el ejercicio práctico, la puesta en práctica de lo aprendido en clase, tanto a nivel de problemas del tema de diagonalización (que engloba el tema de espacios vectoriales, aplicaciones lineales y también matrices ydeterminantes) como lo aprendido en las horas de prácticas en el laboratorio con el programa Wolfram Mathematica, del que en éste último tema no hemos tenido la oportunidad de llevarlo a cabo pero aún así se nos han facilitado los materiales para ello.
Por otra parte, con los tres últimos apartados del trabajo se pretende adquirir una base y familiarizarnos (mediante la búsqueda y comprensión deinformación acerca de los temas) sobre temas que no ha dado tiempo a ver en clase para si nos hiciese falta en un futuro y ver las posibles utilidades que le podremos dar a ellos con la búsqueda de sus aplicaciones (caso del apartado relacionado con geometría). 
EJERCICIO
Considérese el endomorfismo f de R^3que respecto de la base B ={v_1,v_2 〖,v〗_3} verifica:

f(v_1 )=〖av〗_1 + 〖4v〗_2 + 〖2v〗_3
f(v_1- 〖2v〗_3 )= 〖av〗_(1 )
〖 v〗_2 es autovector asociado al autovalor 1 - b

*Para todo el ejercicio hemos tomado la base B, como la base canónica: B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

Obténgase la matriz del endomorfismo f.
Discútase en qué casos es f diagonalizable en función de los parámetros a,b ∈R.
Calcúlese la matriz diagonal y lossubespacios propios en todos los casos en que f sea diagonalizable.
Hállese la matriz de paso de la matriz inicial a la diagonal, en los casos en que el endomorfismo sea diagonalizable.
















Obténgase la matriz del endomorfismo f.

La matriz del endomorfismo f está formada por las imágenes de los vectores de la base dada, colocados en columnas.
Tenemos f(v_1),...