Ejercicios Espacios Vectoriales Euclideos

Escuela Politécnica Nacional
Deber de Ejercicios de Álgebra Lineal

1. Determine el coseno del ángulo que forma cada par de vectores u y v.
cosθ=<u,v>uv
a u=1,2, v=2,-3
cosθ=1.2+2(-3)12+2222+(-3)2
cosθ=-4513
cosθ=-46565

b u=-3,-4, v=4,-3
cosθ=(-3)4+(-4)(-3)(-3)2+(-4)242+(-3)2
cosθ=025
cosθ=0

2. ¿Cuáles de los vectores u1=12, u2=01, u3=-2-4, u4=-21, u5=24, u6=-63 sono están
(a) ortogonales, (b) en la misma dirección, (c) en dirección opuesta?
Recordemos los siguiente:
Dos vectores u y v son ortogonales si <u,v> =0, están en la misma dirección si cosθ=1 y están en dirección opuesta si cosθ=-1, si θ es el ángulo entre los vectores calculado por cosθ=<u,v>uv.
Precediendo:
<u1,u2>=0+2=2 , cosθ=25
<u1,u3>=-2+-8=-10 ,cosθ=-1010=-1
<u1,u4> =(-2)+2=0 , cosθ=0
<u1,u5> =2+8=10 , cosθ=1010=1
<u1,u6> =-6+6=0 , cosθ=0
<u2,u3> =0+-4=-4 , cosθ=-210
<u2,u4> =0+1=1 , cosθ=15
<u2,u5> =0+4=4 , cosθ=210
<u2,u6> =0+3=3 , cosθ=15
<u3,u4> =4+(-4)=0 , cosθ=0
<u3,u5> =-4+-16=-18 , cosθ=-910
<u3,u6> =12+-12=0 , cosθ=0
<u4,u5> =(-4)+4=0 , cosθ=0<u4,u6> =12+3=15 , cosθ=32
<u5,u6> =-12+12=0 , cosθ=0

Entonces los siguientes conjuntos son de parejas de vectores ortogonales entre si
u1,u4, u1,u6, u3,u4, u3,u6, u4,u5,u5,u6,
mientras que u1,u5 son los únicos que están en la misma dirección y u1,u3, son los únicos que están en dirección contraria.

3. Demuestre la desigualdad de Canchy-Schwarz: Si u y v son vectores en Rnentonces
u.v≤uv
Sea r un escalar cualquiera, consideremos el vector rw+v:
<ru+v,ru+v> = <ru,ru+v> + <v,ru+v>
<ru+v,ru+v> = <ru,ru>+<ru,v>+<v,ru>+<v,v>
<ru+v,ru+v> = r2<u,u>+r<u,v>+r<v,u>+<v,v>
como estamos en Rn el producto escalar cumple la propiedad conmutativa:
<ru+v,ru+v> =r2<u,u>+2r<u,v>+<v,v>
si expresamos a la norma del vector rw+v como un polinomio Pr tenemos que:
Pr=ar2+br+c, donde a=<u,u>, b=<u,v>y c=<v,v>
La norma de un vector siempre es mayor o igual que cero, por lo que si analizamos el determinante de la funci []{}﷽﷽﷽﷽﷽erminante de la funciómayor o igual que cero, por lo que si analizamos el determinante de la función cuadrática, éste será:
Δ=b2-4ac≤0entonces
b≤2ac
si reemplazamos:
2<u,v>≤2<u,u><v,v>
y por definición
<u,v>≤uv
4. Demuestre la Desigualdad Triangular: si u y v son vectores en Rn entonces
u+v≤u+v
Sea el vector u+v∈Rn, su norma:
u+v=<u+v, u+v>1/2
u+v2=<u+v, u+v>
u+v2=<u, u+v>+<v, u+v>
u+v2=<u, u>+2<u,v>+<v+v>
u+v2=u2+2<u,v>+v2
Aplicando elteorema anterior:
u+v2≤u2+2uv+v2
u+v2≤(u+v)2
u+v≤u+v
5. ¿Cuáles de los siguientes son conjuntos ortogonales de vectores?
Un conjunto ortogonal está formado por vectores tales que en una relación 2 a 2 <u,v> =0.
a 13,23,23,23,13,-23,23,-23,13
<u1,u2> =29+29+-49=0
<u1,u3> =29+-49+29=0
<u2,u3> =49+-29+-29=0
Es conjunto ortogonal.

b 12,0,-12,13,13,13,0,1,0<v1,v2> =15+0+-15=0
<v1,v3> =0
<v2,v3> = 0+15+0=15
No es conjunto ortogonal.
c 0,2,2,1,1,1,-2,2,0,-2,1,2
<w1,w2> =0+2-4+2=0
<w1,w3> = 0-4+2+2=0
<w2,w3> = 0-2-2+4=0
Es conjunto ortogonal.

6. Utilice el proceso de Gram-Schmiddt para determinar una base ortonormal para el subespacio de R3 con base
a1,-1,0,2,0,1
Sea v1=u1=1-10
Se tienes quev2=u2-<u2,v1><v1,v1>v1
v2=201-221-10=111
Quedándonos el conjunto ortogonal
A=1-10,111
para que un conjunto sea ortonormal se tiene que <u,v> =0 y además que <u,u> =1. Para normalizar A habrá que dividir cada vector del conjunto para su respectiva norma, obteniendo así el conjunto ortonormal:
B=121-10,13111=2/2-2/20,3/33/33/3
b1,0,2,-1,1,0
Repetimos el procedimiento...