Geometria De Minkowski
Páginas: 45 (11159 palabras)
Publicado: 16 de febrero de 2013
Geometr´ de Minkowski ıa
Alonso Sep´ lveda S. u
Instituto de F´ ısica Universidad de Antioquia Medell´ diciembre de 2011 ın,
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CONTENIDO
1. El plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Sistemas coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3 1.2 Rotaci´n de coordenadas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 o 2. Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Los principios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Transformaci´n de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 o 2.3 El tiempo como coordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4.1 L´ımite galileano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4.2 Adici´n de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 o 2.4.3 Contracci´n de longitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 o 2.4.4 Dilataci´n temporal . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 o 3. El espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4. Gr´ficas de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 a 4.1 L´ ıneas de universo . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2 Sistemas de referencia en movimiento uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3 Curvas de calibraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 o 4.4 Los gemelos relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.5 Simultaneidad y sucesi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 o 4.6 Relojes de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.7 Orden temporal y causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 / Geometr´ de Minkowski ıa
4.8 Contracci´n de longitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 o 4.8.1 Varilla en reposo en S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.8.2 Varilla en reposo en S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.9 Dilataci´n temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 o 5. Bibliograf´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ıa
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1. El plano cartesiano
1.1. Sistemas coordenados
La posici´n de unpunto en un plano puede precisarse mediante la introducci´n o o de un sistema cartesiano de coordenadas. En su forma m´s simple consiste en una red a de l´ ıneas paralelas que intersectan en forma perpendicular a otra red de paralelas. El corte de dos perpendiculares cualquiera se escoge como origen respecto al cual se asignan las coordenadas (x, y) de un punto P , como se muestra en la figura...
Alonso Sep´ lveda S. u
Instituto de F´ ısica Universidad de Antioquia Medell´ diciembre de 2011 ın,
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1. El plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Sistemas coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3 1.2 Rotaci´n de coordenadas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 o 2. Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Los principios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Transformaci´n de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 o 2.3 El tiempo como coordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4.1 L´ımite galileano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4.2 Adici´n de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 o 2.4.3 Contracci´n de longitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 o 2.4.4 Dilataci´n temporal . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 o 3. El espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4. Gr´ficas de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 a 4.1 L´ ıneas de universo . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2 Sistemas de referencia en movimiento uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3 Curvas de calibraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 o 4.4 Los gemelos relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.5 Simultaneidad y sucesi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 o 4.6 Relojes de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.7 Orden temporal y causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 / Geometr´ de Minkowski ıa
4.8 Contracci´n de longitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 o 4.8.1 Varilla en reposo en S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.8.2 Varilla en reposo en S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.9 Dilataci´n temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 o 5. Bibliograf´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ıa
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1. El plano cartesiano
1.1. Sistemas coordenados
La posici´n de unpunto en un plano puede precisarse mediante la introducci´n o o de un sistema cartesiano de coordenadas. En su forma m´s simple consiste en una red a de l´ ıneas paralelas que intersectan en forma perpendicular a otra red de paralelas. El corte de dos perpendiculares cualquiera se escoge como origen respecto al cual se asignan las coordenadas (x, y) de un punto P , como se muestra en la figura...
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