Geometria Descriptiva

GEOMETRIA ANALITICA
SEM. 16 – 17
ELIPSE & HIPERBOLA

Agradecimiento

Xxxxxxxxxxxxxxxx
Xxxxxxxxxxxxxxx
Xxxxxxxxxxxxxxxx
Vvvvvvvvvvvvvvvvv
Bbbbbbbbbbbbbbbbbbb
Bbbbbbbbbbb

Contenido

* ELIPSE
* TEOREMA
* DEFINICION
* ELEMENTOS DE LA ELIPSE
* ECUACIONES
* EN CORDENADAS CARTESIANAS
* FORMA CANONICA
* Ejemplo y Solución
* FORMA ORDINARIA
*Ejemplo y Solución

* TEOREMA

* HIPERBOLA

HIPERBOLA

DEFINICION

ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA

ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA

a. ECUACION EN COORDENADAS CARTESIANAS EN SU FORMA GENERAL
b. ECUACIONES EN COORDENADAS CARTESIANAS EN SUS FORMAS ORDINARIAS
c. ECUACIONES EN COORDENADAS CARTESIANAS, EN SU FORMA CANÓNICA.

EJERCICIOS DE HIPERBOLAS
BIBLIOGRAFIA

ELIPSEDEFINICION

Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que las sumas de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Los elementos de una elipse son los que se describen en la figura siguiente:

Donde:

* F y F’, focos.* V y V’, vértices
* C, centro.
* d(V, V’), eje mayor.
* CF, lado recto.
* d(A, A’) eje menor.
* L’, eje normal.
* L, eje focal.

Es importante observar que F, F’, C, V y V’ tienen una coordenada en común y que la distancia de F a V es igual a la distancia de F’ a V’ y que C es el punto medio de los focos y vértices.







ELEMENTOS DE LA ELIPSEFocos
Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro
Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

Distancia focal
Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

Vértices
Sonlos puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

Eje mayor
Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor
Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría
Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersecciónde los ejes de simetría.

Relación entre la distancia focal y los semiejes

ECUACIONES

a. EN CORDENADAS CARTESIANAS

Forma cartesiana centrada en origen
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

Donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es lamitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
Forma cartesiana centrada fuera del origen
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:

b. FORMA CANONICA
La forma canónica de la ecuación de una elipse de centro y ejes mayor y menor de longitudes yrespectivamente, con , es

 
 

De la figura , podemos deducir que (tomando ), es decir, es la constante a la que se refiere la definición.
 
Los focos están en el eje mayor a unidades del centro con ,y el eje mayor es horizontal. En el caso de que el eje mayor sea vertical la ecuación toma la forma:

 

La demostración de este teorema no es complicada, basta aplicar la definición y la fórmulade distancia.

Simplificando

Pero, y así obtenemos la ecuación canónica de la elipse
La excentricidad es una medida de la "circularidad" de una elipse, entre más cerca de cero más circular y entre más cerca de uno más alargada.

  | Definición (excentricidad) |
  | La excentricidad de una elipse está dada por el cociente |
 
Observe que al estar situados los focos en el eje...