Geometria Diferencial

Dada una curva suficientemente suave (diferenciable y de clase ), en y dado su vector de posición expresado mediante el parámetro t;

se define el llamado parámetro de arco s como:


La cualse puede expresar también de la siguiente forma en la cual resulta más fácil de recordar

Lo cual permite reparametrizar la curva de la siguiente manera:


donde


son las relaciones entre lasdos parametrizaciones.
[editar]Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frênet-Serret



Vista esquemática del vector tangente, vector normal y vector binormal de una curva hélice.
Dadauna curva parametrizada r(t) según un parámetro cualquiera t se define el llamado vector tangente, normal y binormal como:

o bien
o bien
o bien

Estos tres vectores son unitarios yperpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frênet-Serret a raíz del estudio de Jean Frenet y Joseph Serret. Es interesante que para una partículafísica desplazándose en el espacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidad o aceleración normal.
Si lacurva está parametrizada según la longitud de arco, como se explicó en la sección anterior las fórmulas anteriores pueden simplificarse notablemente:

Donde los parámetros χ y τ anteriores designanprecisamente a la curvatura y a la torsión.
[editar]Curvatura y torsión

La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida quenos desplazamos a lo largo de la curva, se dice, que más grande es la curvatura. Para una curva parametrizada cualquiera la curvatura es igual a:


Si la curva está parametrizada por el parámetrode longitud de arco, la anterior ecuación se reduce simplemente a:


Además de la curvatura se suele definir el llamado radio de curvatura, como el inverso de la curvatura.
La torsión es una...