Geometria. Teoria de vectores

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Chapter 1

Vectores

1.1 Introducci´on de las coordenadas.

Por el momento trabajaremos en el plano eucl´ıdeo, con lo cu´al identificaremos
los puntos mediante un par de coordenadas en un sistema de ejes cartesianos.
Para definir nuestro sistema de ejes coordenados consideraremos dos puntos O y
P que identificaremos con las coordenadas (0; 0) y (1; 0), respectivamente. A la
←→
rectaOA la llamaremos recta de las abscisas o eje x. Consideraremos tambi´en
←→
la recta perpendicular a OA que pasa por el punto O, esta recta ser´a la recta de
las ordenadas o eje y. Sobre ambas rectas, como unidad de medida, tomaremos la
longitud del segmento OA, as´ı, tendremos el plano dividido en cuatro cuadrantes
(ver figura ??) y cada punto P del plano lo podemos situar con las coordenadas
(xP ;yP ) donde |xP | es la distancia del punto P al eje de las ordenadas y donde el
signo de xP es positivo a la derecha del eje de ordenadas y negativo a su izquierda;
y donde |yP | es la distancia del punto P al eje de las abscisas y donde el signo de
yP es positivo por encima del eje de ordenadas y negativo por debajo del mismo.
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Introducci´
on de las coordenadas.Figure 1.1: Sistema de ejes coordenados.
Como ya hemos dicho un par ordenado de n´
umeros reales (x0 ; y0 ) lo podemos
representar mediante un punto P en este plano. El n´
umero x0 se llama abscisa o
coordenada x del punto y el n´
umero y0 se conoce como la ordenada o coordenada y del punto. Para graficar se procede como sigue. Se localiza el n´
umero x0
en el eje (real) x y se traza una perpendicularal eje, igual se procede con el n´
umero
y0 en el eje y. La intersecci´on de estas dos rectas es un punto en el plano xy y es la
representaci´on del par (x0 ; y0 ). Rec´ıprocamente, podemos ver que cada punto P en
el plano representa a un par de n´
umeros reales ordenados. Es por esta raz´on que al
plano coordenado lo identificaremos con R2 .

1.1.1

Actividades:

1. Trace una recta m y cuatropuntos A, B, C y D en ella de forma tal que el
punto C se encuentre entre los puntos A y B, y el punto D separe a A y a C.
2. ¿Pueden hallarse tres puntos A, B y C en una misma recta si |AB| = 5 cm.,
|BC| = 6 cm. y |AC| = 10 cm.? ¿Por qu´e?

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Vectores

3. Grafique en un mismo sistema de ejes coordenados los puntos:
(a) A = (2; 3)

(c) C = (−2; 0)

(e) E = (5; −3)

(b) B =(0; 2)

(d) D = (−3; −4)

(f) F = (−3; 3)

4. Graficar en un sistema de ejes coordenados cada uno de los siguientes conjuntos de puntos:
(a) A = {(x; y) ∈ R2 |x < 2}.
(b) B = {(x; y) ∈ R2 |y ≥ −1}.
(c) C = {(x; y) ∈ R2 |x = y}.
(d) D = {(x; y) ∈ R2 |y = 2x + 1}.
(e) E = {(x; y) ∈ R2 |x > y}.
5. Si usted conociera la ubicaci´on de los puntos A = (1; 1), B = (3; −2) y
C = (3; 1) ¿podr´ıa explicarc´omo encontrar d´onde est´an ubicados los ejes
coordenados? ¿Y si no conociera el punto B?

1.2 Vectores.
1.2.1

Magnitudes.

En diversas situaciones de nuestra vida empleamos magnitudes. Algunas magnitudes quedan completamente definidas mediante un escalar (n´
umero real) y la
unidad correspondiente, por ejemplo, la cantidad de l´ıquido necesario para llenar
una botella, la cantidad de cementorequerido para construir un edificio, la cantidad de cable necesaria para efectuar una instalaci´on el´ectrica, entre tantas otras
situaciones.
Definici´
on 1 Las magnitudes escalares son aquellas que se caracterizan mediante un n´
umero real con una unidad apropiada de medida.
Sin embargo, en nuestra vida diaria, un gran n´
umero de sucesos est´an relacionados con magnitudes que para ser representadasrequieren se indique una intensidad, una direcci´on y un sentido. Un ejemplo de esto puede ser un movimiento de
traslaci´on de un objeto.

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Operaciones entre vectores.

Definici´
on 2 Las magnitudes vectoriales son aquellas que se caracterizan por
tener intensidad (tama˜
no), direcci´
on y sentido.

1.2.2

Vectores libres.

Definici´
on 3 Un segmento de recta queda...