teoria de vectores

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas sonpositivas.
Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.


Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Determinar la componentes de losvectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).





Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes


Dados los vectores y , hallar los módulos dey ·


Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos



Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Hallar la distancia entre los puntosA(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).


Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vectorunitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.

Suma de vectores
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.


Ejemplos
Dados = (2, 1, 3), = (1, −1, 0), = (1, 2, 3), hallar el vector = 2u + 3v − w.
= (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)
Dados los vectores y , hallar el módulo del vector .Propiedades de la suma de vectores
Asociativa
+ ( + ) = ( + ) +
Conmutativa
+ = +
Elemento neutro
+ =
Elemento opuesto
+ (− ) =

Producto de un número real por un vector
El producto de un número real kpor un vectores otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
De sentido contrario del vector si k es negativo.
De móduloLas componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Propiedades del producto de un número por un vector
Asociativa
k · (k' · ) = (k · k') ·
Distributiva respecto a la suma de vectores
k · ( + ) = k · + k ·
Distributiva respecto a los escalares
(k + k') · = k · + k' ·
Elementoneutro
1 · =
Ejemplo
Dado = (6, 2, 0) determinar de modo quesea 3= .

Combinación lineal
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectoresmultiplicados por sendos escalares.


Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Vectores linealmente dependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmentedependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.


Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.


También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todoslos vectores son linealmente dependientes.
2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3.Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.




Ejemplo
Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores , y . escribircomo combinación lineal de y,...