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Parcial resuelto por el Profesor Mancilla, docente de Algebra II FACULTAD DE INGENIERÍA - UBA

ÁLGEBRA II

Primer cuatrimestre 2009

PRIMER EXAMEN PARCIAL 9 de mayo de 2009 (Primera oportunidad) TEMA 2 RESOLUCIÓN Aclaración: El alumno debe tener presente que siempre hay más de una forma correcta de resolver un ejercicio. La resolución aquí presentadaes una de las tantas posibles.
  4 1 2 EJERCICIO 1: Sea T : P2   3 una transformación lineal tal que T B B   a 2 a 0 , ˆ    1 2 1   2 para algún donde B  1 t  t , 1 t ,1 y a, t t t ˆ B  1  1 0 , 1 0  1 ,  1 2 1 . Determinar todos los a   para los cuales T no









es sobreyectiva. ¿Para cuáles de estos valores encontrados existe T ( p )   1 32 t ?

p  P2

tal que

RESOLUCIÓN (a): Puesto que Dim( P2 )  Dim( 2 )  3 , del teorema de la dimensión resulta que Dim( IM (T ))  3  Dim( Nu (T ))  3  Dim( Nu (T ))  1 . Para que el núcleo de T sea no trivial, el determinante de T B B debe ser nulo, es decir:  4a  4a 2  2a  a 2  0 , o bien: ˆ 0  6a  3a 2  3a (a  2) . Por lo tanto, para que T no sea sobreyectiva, debeser a = 0 o ˆ bien a = 2. Ahora, indicando B   p1 , p 2 , p 3  y B   v1 , v 2 , v3  se tiene que
T ( p1 )  4v1  a 2 v 2  v3 , T ( p 2 )  v1  av 2  2v3 y T ( p3 )  2v1  v3

y además:

 1

3 2 t  1  1 0 t   2 4 2 t  v1  2v3

Por lo tanto, para a = 0 es T ( p 2 )  v1  2v3   1 3 2 t . Ahora, para a = 2, los vectores
T ( p1 )  4v1  4v 2  v3   1 6  3 t, T ( p 2 )  v1  2v 2  2v3  1 3 0 t , T ( p3 )  2v1  v3  1 0 1 t

verifican T ( p1 )  2T ( p 2 )  3T ( p 3 ) y
t
t

entonces la imagen de T está generada por

T ( p 2 )  1 3 0 y T ( p3 )  1 0 1 . Puesto que los vectores,  1 3 2 t , 1 3 0 t , y 0 1 t son linealmente independientes (*),  1 3 2 t no pertenece a la imagen de T. Es decir: si a = 0, 1 1 3 t IM (T)) y si a = 2, 1 1 3 t IM (T )) .

1

2

  1 1 1 (*) Det  3 3 0  12  0    2 0 1   -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ˆ EJERCICIO 2: Dadas las bases B , B y la transformación lineal del ejercicio precedente, con a = 2, encontrar todos los p  P2 para los cuales la distancia entre T(p) y  1 32 t es mínima.

(Considerar el producto interno canónico en  3 ). RESOLUCIÓN: Para a  2 hemos visto que la imagen de T está generada por T ( p 2 )  1 3 0 t y T ( p 2 )  1 0 1 t . Por otra parte, de T ( p1 )  2T ( p 2 )  3T ( p3 )  0 (y del hecho de que el núcleo de T tiene dimensión 1) se deduce que una base del núcleo es p1  2 p 2  3 p 3 . Una base ortogonal de IM(T) está dada, porejemplo, por

1 1 1  1  2  0  y w   3   1  0   3   w1    2   2    1 0 1   1         2

 1  1  2  6   1  

Por lo tanto, la proyección de v   1 3 2 t sobre IM(T) es

1 (w1 , v ) ( w2 , v) 1  P (v )  w1  w2  0  2 2 2 w1 w2 1  

15 2 19 2

 1   1   15   19   15   34   17  2 2 38 38 38 38 19     45     45   45   45   3   0   19    0    19    19    19  4 2  1   1    15   19   15   38   19   2   2   38   38   38     

y entonces:
1 1    0  3  2 0  15 T ( p )  2 T ( p )  T ( 15 p  2 p )   T ( p  2 p  3 p )  2 3 2 3 1 2 3 19 19 19   19   19 0 1     

P (v ) 

15 19

2  T ( 15 p 2  19p3   ( p1  2 p 2  3 p3 )) 19

2 Por lo tanto, la respuesta es 15 p 2  19 p 2   ( p1  2 p 2  3 p3 ) ,    19 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3
1  2 0 EJERCICIO 2: Sea A   a 2 0 a  , a   . Determinar todos los valores de a   para     4 1  4   t t los cuales ( x, y )  x A Ay es...