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Ejemplo para introducir la idea de ecuación y el significado que tiene la resolución de un sistema de ecuaciones.

Ejemplo 1 La ecuación x-2y=2 es una ecuación con dos incógnitas. Tiene infinitas soluciones. Así, por ejemplo: x = -4 , y = -3 es una de ellas porque (-4) - 2.(-3) = 2 . Otras soluciones son: x = 0 , y = -1 x=2 , y=0 x=4 , y= 1 x=6 , y=2 Interpretando cada solución como un puntodel plano de coordenadas (x,y) : P( -4 , -3 ) , Q( 0 , -1 ) , R( 2 , 0 ) , S( 4 , 1 ) , T( 6 , 2 ) .

Ejemplo 2 La ecuación x2 + y2 = 25 es otra ecuación con dos incógnitas. También tiene infinitas soluciones. Unas soluciones son, por ejemplo: x = 0 , y = 5 , x = 0 , y = -5 , x = 5 , y = 0 x = 3 , y = 4 , x = 3 , y = -4 , x = 4 , y = -3 Interpretando cada solución como un punto del plano decoordenadas (x,y) : P( 0 , 5 ) , Q ( 0 , -5 ) , R ( 5 , 0 ) S ( 3 , 4 ) , T ( 3 , -4 ) , U ( 4 , -3 )

Todas las soluciones de esta ecuación están situadas sobre una recta. Por eso decimos que x-2y=2 es la ecuación de una recta.

Todas las soluciones de la ecuación están situadas sobre una circunferencia de centro O y radio 5 unidades. Diremos que la ecuación x2 + y2 = 25 es la ecuación de unacircunferencia

¿Qué siginificado tiene resolver un sistema de ecuaciones? Considera el siguiente sistema de ecuaciones :

x - 2y = 2 x2 + y2 = 25
Los puntos que son soluciones de la primera ecuación están sobre la recta; los que son solución de la segunda ecuación están situados sobre la circunferencia. Así, los puntos que son solución del sistema, es decir, los que satisfacen simultáneamente laprimera y segunda ecuación, son aquellos puntos que estén situados sobre la recta y la circunferencia. A la derecha, una vez dibujadas las dos líneas correspondientes a cada ecuación, hallamos la solución del sistema mediante un método gráfico.

Soluciones mediante el método gráfico P ( -4 , - 3 ) , Q . ( 4,7 , 1,4 ) Resuelve el sistema anterior y halla las soluciones exactas.

EjercicioI.E.S. Huarte de San Juan . Linares

Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II . Sistemas de Ecuaciones Lineales

Interpretación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: estudio de la posición relativa en el plano de dos rectas.

CASO 1 COMPATIBLE Y DETERMINADO
El sistema tiene una única solución que podemos identificar como un punto P cuyas coordenadas son los valores obtenidosde x e y. Dicho punto pertenece a las dos rectas y es el único común a ellas: las rectas son secantes.

EJEMPLO

EJEMPLO

CASO 2 COMPATIBLE E INDETERMINADO
El sistema tiene infinitas soluciones. Cada una de ellas es un punto del plano. Las dos rectas tienen infinitos puntos comunes: son idénticas.

CASO 3 INCOMPATIBLE
El sistema no tiene solución : las tres rectas no tienen puntoscomunes y, por consiguiente, son paralelas.

EJEMPLO

I.E.S. Huarte de San Juan . Linares

Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales II . Sistemas de Ecuaciones Lineales

Interpretación de una ecuación lineal con tres incógnitas. Ecuación de un plano en el espacio. Vector normal de un plano. Planos paralelos .

En la hoja anterior, cuando introducíamos el tema, vimos que la ecuación x-2y =2 admitía infinitas soluciones. Cada solución la identificábamos como un punto del plano de coordenadas P(x,y). También vimos que si representábamos todos estos puntos en el plano, estaban alineados. Por eso decíamos que la ecuación representaba una recta. Después vimos que toda expresión de la forma Ax+By = C , es decir toda ecuación lineal con dos incógnitas, representaba la ecuación de unarecta en el plano y que los coeficientes de las incógnitas nos daban la dirección de la recta:

Ax+By=C | recta en el plano | dirección ã(-B,A)
Ecuación del plano en el espacio Vamos a partir de la ecuación lineal 2x+y-2z = 3 . Esta ecuación admite infinitas soluciones. Por ejemplo. x=3, y=5 , z=4 . Efectivamente es solución porque 2(3) + 5 - 2(4) = 3. Esta solución podemos interpretarla como un...