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5.1 Recta tangente
Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un casoparticular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión.
Sea una curva, y un punto regular de esta, es decir un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en la curvano cambia repentinamente de dirección. La tangente a en es la recta que pasa por y que tiene la misma dirección que alrededor de .
La tangente es la posición límite de la recta secante () (elsegmento se llama cuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto ( se desplaza sucesivamente por
Si representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente),entonces la recta tendrá como coeficiente director (o pendiente):

Donde son las coordenadas del punto y las del punto . Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

Es, por definición, f'(a), la derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es :

La recta ortogonal a la tangente que pasa por el punto se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadasortonormales, es dada por . Siendo su ecuación:

suponiendo claro está que . Si entonces la recta normal es simplemente . Esta recta no interviene en el estudio general de las funciones pero sí en problemasgeométricos relacionados con las cónicas, como por ejemplo para determinar el punto focal de una parábola.

5.2 El teorema de Rolle dice lo siguiente si:
es una función continua definida en unintervalo cerrado
es derivable sobre el intervalo abierto

Entonces: existe al menos un número perteneciente al intervalo tal que .

Teorema de Valor Medio, de Lagrange o de Incrementos Finitos si:f es una función continua definida en un intervalo [a, b]
f es derivable sobre el intervalo (a, b)
Es decir que existe un punto en donde la tangente es paralela a la cuerda AB.
Su prueba es...