Páginas: 169 (42110 palabras)
Publicado: 4 de noviembre de 2014
´
E.T.S. DE INGENIER´IA INFORMATICA
Apuntes de
´
ALGEBRA
LINEAL
para la titulaci´
on de
´
´
INGENIER´IA TECNICA
EN INFORMATICA
´
DE GESTION
Fco. Javier Cobos Gavala
Amparo Osuna Lucena
Rafael Robles Arias
Beatriz Silva Gallardo
Contenido
Portada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
3
1 Matrices y determinantes
7
1.1
Notaci´on y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Aritm´etica de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3
Transformaciones elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.1
Transformaciones elementales fila. . . . . . . . . . . . .
14
1.3.2Transformaciones elementales columna. . . . . . . . . .
15
1.4
Algoritmo de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.5
Determinante de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . .
22
1.5.1
Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . .
23
1.6
Factorizaci´on triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.7Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.7.1
C´alculo de la matriz inversa. . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.8
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.9
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2 Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios vectoriales.
37
2.1
Notaci´ony definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.2
M´etodo de eliminaci´on gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.2.1
Sistemas de ecuaciones lineales homog´eneos . . . . . .
45
Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.3
3
4
Contenido
2.3.1
Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . .51
2.3.2
Espacios vectoriales de tipo finito . . . . . . . . . . . .
54
Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.4.1
Operaciones con variedades lineales . . . . . . . . . . .
65
2.4.2
Ecuaciones de los subespacios. . . . . . . . . . . . . . .
68
2.5
Propiedades de los espacios vectoriales de tipo finito. . . . . .
75
2.6Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2.7
Espacios fundamentales asociados a una matriz. . . . . . . . .
80
2.7.1
Espacio columna de A. [R(A)]. . . . . . . . . . . . . .
80
2.7.2
Espacio fila de A: [R(AT )]. . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.7.3
Espacio nulo de A: N (A). . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.8
Teoremade Rouche-Fr¨obenius . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
2.9
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
2.10 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
2.4
3 Aplicaciones lineales.
109
3.1
Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
3.2
Ecuaciones de una aplicaci´onlineal. . . . . . . . . . . . . . . .
116
3.3
Ecuaciones del n´
ucleo y la imagen de una aplicaci´on lineal . .
117
3.4
Matrices equivalentes.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
3.5
Imagen inversa de una variedad lineal. . . . . . . . . . . . . .
121
3.6
Operaciones con aplicaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . .
122
3.7
Ejerciciosresueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
3.8
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
4 Ortogonalidad.
145
4.1
Formas bilineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
4.2
Producto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
4.3
Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . ....
E.T.S. DE INGENIER´IA INFORMATICA
Apuntes de
´
ALGEBRA
LINEAL
para la titulaci´
on de
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´
INGENIER´IA TECNICA
EN INFORMATICA
´
DE GESTION
Fco. Javier Cobos Gavala
Amparo Osuna Lucena
Rafael Robles Arias
Beatriz Silva Gallardo
Contenido
Portada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
3
1 Matrices y determinantes
7
1.1
Notaci´on y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Aritm´etica de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3
Transformaciones elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.1
Transformaciones elementales fila. . . . . . . . . . . . .
14
1.3.2Transformaciones elementales columna. . . . . . . . . .
15
1.4
Algoritmo de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.5
Determinante de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . .
22
1.5.1
Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . .
23
1.6
Factorizaci´on triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.7Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.7.1
C´alculo de la matriz inversa. . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.8
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.9
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2 Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios vectoriales.
37
2.1
Notaci´ony definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.2
M´etodo de eliminaci´on gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.2.1
Sistemas de ecuaciones lineales homog´eneos . . . . . .
45
Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.3
3
4
Contenido
2.3.1
Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . .51
2.3.2
Espacios vectoriales de tipo finito . . . . . . . . . . . .
54
Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.4.1
Operaciones con variedades lineales . . . . . . . . . . .
65
2.4.2
Ecuaciones de los subespacios. . . . . . . . . . . . . . .
68
2.5
Propiedades de los espacios vectoriales de tipo finito. . . . . .
75
2.6Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2.7
Espacios fundamentales asociados a una matriz. . . . . . . . .
80
2.7.1
Espacio columna de A. [R(A)]. . . . . . . . . . . . . .
80
2.7.2
Espacio fila de A: [R(AT )]. . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.7.3
Espacio nulo de A: N (A). . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.8
Teoremade Rouche-Fr¨obenius . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
2.9
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
2.10 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
2.4
3 Aplicaciones lineales.
109
3.1
Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
3.2
Ecuaciones de una aplicaci´onlineal. . . . . . . . . . . . . . . .
116
3.3
Ecuaciones del n´
ucleo y la imagen de una aplicaci´on lineal . .
117
3.4
Matrices equivalentes.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
3.5
Imagen inversa de una variedad lineal. . . . . . . . . . . . . .
121
3.6
Operaciones con aplicaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . .
122
3.7
Ejerciciosresueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
3.8
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
4 Ortogonalidad.
145
4.1
Formas bilineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
4.2
Producto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
4.3
Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . ....
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