Gradiente

El gradiente de una función de dos variables

El gradiente de una función de dos variables se define como una función vectorial de dos variables.

Definición formal de gradiente:

Sea z=f(x,y)una función de x y y tal que fx y fy existen. Entonces el gradiente de f, denotado por [pic]
Ejemplo:
Hallar el gradiente de f(x,y)=yln(x)+xy2 en el punto (1,2).
Solución:
Utilizando fx(x,y)=y/x+ y2 y fy(x,y)=ln(x)+2xy
se tiene
[pic]
En el punto (1,2), el gradiente es
[pic]
[pic]
Como el gradiente de f es un vector, es posible expresar la derivada direccional de f en la dirección deu como:
[pic]

Aplicaciones del gradiente

Hay muchas derivadas direccionales en un punto (x,y) de una superficie, así mismo muchas direcciones en qué moverse para que la función cambie, peroprincipalmente se busca que crezca más rápidamente. A esta dirección se le denomina la dirección de mayor ascenso, y es obtenida mediante el gradiente.
Propiedades del gradiente
Sea f diferenciable enel punto (x,y).
1. Si [pic]0, entonces [pic] para toda u.
2. La dirección de máximo incremento de f está dada por [pic] El valor máximo de [pic] es ||[pic]||.
3. La dirección de mínimo incrementode f, está dada por [pic] El valor máximo de [pic] es -||[pic]||.

¿Por qué es importante ?

Sirve para conocer los puntos máximos y mínimos de incremento de una función que depende de dosvariables.
Nos indica la dirección en la cual la función está cambiando.
También nos sirve para saber la tasa de variación de la función.

Una aplicación en /R2 ó /R3

Curvas de nivel de la temperaturade una superficie metálica
La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es [pic]
donde x y y se miden en centímetros. ¿En qué dirección a partir de (2,-3) aumenta másrápido la temperatura? ¿Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento?
Solución:
El gradiente es: [pic]
[pic]
Se sigue que la dirección máxima incremento está dada por
[pic]
y el ritmo de incremento es...