Gradientes

Una serie de gradiente es una serie de pagos hechos a intervalos iguales de tiempo y que aumentan o disminuyen de acuerdo a una regla establecida. La cantidad constante de aumento o disminución recibe el nombre de gradiente y la cantidad usada como inicio de la serie recibe el nombre de base.

Se considera dos clases de gradientes: el gradiente aritmético o lineal y el gradiente geométrico.Gradiente aritmético
En el gradiente aritmético los pagos varían en sucesión aritmética; esto es, cada pago es igual al interior, más o menos una cantidad constante. Si la cantidad constante es positiva, los pagos son crecientes; si la cantidad constante es negativa, los pagos son decrecientes.

A A+G A+2G A+3GA+ (n-2) G A+(n-1) G
+(

+
+
A continuación se muestra el diagrama de tiempo para un gradiente aritmético

| | | | | …
| | |
| | | | | | | |
0 1 2 3 4 n-1 n
+(

+
+

En este diagrama A es la base y G es el gradiente aritmético.

Sea P el valor presente de la serie degradiente anterior. Si se toma como fecha focal el momento actual, se tiene:

P = A (1+i)-1 + (A + G) (1+i)-2 + (A + 2G) (1+i)-3 + ... + [A+ (n-1) G] (1+i)-n

Donde i es la tasa de interés por periodo. La igualdad anterior se puede escribir como:

P = A (1+i)-1 + A (1+i)-2 + G (1+i)-2 + A (1+i)-3 +2G (1+i)-3 + ... + A (1+i)-n + (n-1) G (1+i)-n

Reacomodando términos, se tiene:
P = [A(1+i)-1 + A (1+i)-2 + A (1+i)-3+ … + A (1+i)-n] + [G (1+i)-2 + 2G (1+i)-3+ … + (n-1) G (1+i)-n]

El primer corchete de la igualdad anterior es el valor presente de una anualidad vencida. Por tanto:

P = A

Sacando a G como factor común:

P = A (1)

Sea:
L =

Al resolver la suma anterior se tiene:

(2)

Sustituyendo la expresión (2) en la ecuación (1) se tiene:

P= A (8.3)

La ecuación (8.3) es la fórmula general para obtener el valor presente de una serie de gradiente aritmético.

Para calcular el valor futuro de la serie de gradiente aritmético se utiliza la fórmula del interés compuesto:

F = P (1+i)n

Donde P es sustituida por la ecuación (8.3)

F =

Es decir,
F =

Simplificando la expresión anterior
F =(8.4)

Ejercicio #1.
Guillermo pide prestada cierta cantidad de dinero y firma un contrato-pagaré en el que se estipula la obligación de pagar en un año con pagos mensuales vencidos y una tasa de interés de 30% anual con capitalización mensual. Si el primer pago mensual es por $1300 y los pagos sucesivos aumentarán $200 cada mes, encuentre la cantidad de dinero que Guillermo pidió prestada.¿Cuánto se paga por intereses?

Solución
El valor del pago número 12 se obtiene así:
a12 = 1300 + (12 - 1) (200) = 3,500
Por tanto, el diagrama de tiempo es el siguiente:
1300 1500 1700 1900 3300 3500

| | | | | …
| | |
| | | | | | | |
0 1 2 3 411 12
meses

En este problema los pagos forman una progresión aritmética, donde la base es $1 300 y el gradiente es igual a $200. Esto es:

Datos
A = $1300
G = $200
n = 12 meses
i = 30%anual = 2.5%mensual
P = ?

Sustituyendo estos valores numéricosen la ecuación del valor presente de gradiente aritmético:
P =1300

P = $24,015.85

Los intereses son la diferencia entre el total pagado y la cantidad prestada. El total pagado es la suma de una sucesión aritmética, esto es:

1300 + 1500 + 1700 +... + 3 500

El valor de la suma se obtiene:
1300 + 1500 + 1700 +... + 3500 = (1300 + 3500) = $28,800

Por tanto:
I = $28,800.00 -...