Grafica Y Funciones

GRÁFICAS

Si W es un conjunto de pares ordenados, se puede considerar al punto P(x, y) de un plano coordenado que corresponda al par ordenado (x, y) en W. La gráfica de W es el conjunto de todos esos puntos. La frase "trazar la gráfica de W" significa ilustrar geométricamente en un plano coordenado las características relevantes de la gráfica.

EJEMPLO 1
En este ejemplo se trata de trazar lagráfica de W = {(x, y) : y = 2x - 1}.
SOLUCIÓN Empezamos por encontrar algunos puntos con coordenadas (x, y) tales que el par ordenado (x, y) esté en W. Conviene tabular estas coordenadas como se muestra a continuación, de manera que el valor de y correspondiente al número real x sea igual a 2x - 1.
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | -5 | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 |

Después de marcar los puntoscon estas coordenadas, nos damos cuenta que todos
están sobre una recta y trazamos la gráfica de acuerdo con esta observación

Las coordenadas x de los puntos en los que la gráfica corta al eje x se conocen como intercepciones jc de la gráfica. Las coordenadas y de los puntos en los que la gráfica corta al eje y se conocen como intercepciones y. La gráfica de la Figura tiene como intercepciónx, 1/2, y como intercepción y, -1.

Dada una ecuación en x y y decimos que un par ordenado (a, b) es una solución de la ecuación, si se obtiene una igualdad al reemplazar x por a y y por b. Por ejemplo (2, 3), es una solución de y = 2x - 1 ya que al reemplazar x por 2 y y por 3 obtenemos 3 =4-l,o bien 3 = 3. Se dice que dos ecuaciones en x y y son equivalentes si tienen exactamente las mismassoluciones. Las soluciones de una ecuación en x y y determinan un conjunto W de pares ordenados; se define la gráfica de la ecuación como la gráfica de W. Obsérvese que la gráfica de la ecuación y = 2x - 1 es la misma que la del conjunto W del Ejemplo anterior.

EJEMPLO 2
Trazar la gráfica de la ecuación y =X2
SOLUCIÓN Para trazar la gráfica debemos situar más puntos que en el ejemplo anterior.Aumentando las coordenadas x sucesivas en 1/2, se obtiene la siguiente tabla.

Al crecer los valores de x, crecen aún más los valores de y. Por ejemplo, los puntos (4, 16), (5, 25) y (6, 36) pertenecen a la gráfica, así como también los (-4, 16), (-5, 25) y (-6, 36). Al representar y unir mediante una curva alisada estos puntos, en donde se tienen marcados varios puntos.

La gráfica delEjemplo 2 se llama parábola. El eje y se llama eje de la parábola. El punto inferior (0, 0) es conocido como vértice de la parábola y decimos que la parábola abre hacia arriba. Si la gráfica estuviese invertida, como sería el caso de y = -x2, entonces la parábola abriría hacia abajo y el vértice (0, 0) sería el punto más alto de la gráfica. En general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma y =ax2, para a ¿ 0, es una parábola con vértice (0, 0). Las parábolas pueden también abrir hacia la derecha o hacia la izquierda (véase el Ejemplo 4). En el Capítulo 4 consideraremos parábolas con ejes paralelos al eje x o al eje y.

Si el plano coordenado de la Figura 3.8 se dobla a lo largo del eje y, entonces la mitad de la gráfica del lado izquierdo coincide con la mitad de la derecha. Decimosque la gráfica es simétrica con respecto al eje y.

La investigación de estos tres tipos de simetría se lleva a cabo mediante las siguientes pruebas para gráficas de ecuaciones en x y y.
PRUEBAS DE SIMETRÍA
(i) La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje y si la sustitución de x por -x da una ecuación equivalente.
(ii) La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al ejex si la sustitución de y por -y da una ecuación equivalente.
(iii) La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al origen si la sustitución simultánea de x por -x y de y por -y da una ecuación equivalente.

Si sustituimos x por -x en la ecuación del Ejemplo anterior, obtenemos que y = (-x)2, es equivalente a y = x2. Así pues, mediante la prueba de simetría (i), hemos demostrado que...