Grafica de funciones

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GRÁFICAS DE FUNCIONES

INTRODUCCIÓN

En la siguiente guía encontrará una lista de ejercicios que le permiten usar las herramientas de la diferenciación para el trazado de gráficas de funciones, así como capturar la mayor información posible de una función a partir de su primera y segunda derivada.

OBJETIVOS
• Utilizar los criterios de primera y segunda derivada para obtenerla gráfica de las funciones propuestas.

• Desarrollar habilidades en la aplicación de la derivación para el trazado de gráficas.

METODOLOGÍA
En esta guía los estudiantes:
• Leen los conceptos, estudian los ejemplos y resuelven los ejercicios planteados.
• Asisten a las asesorías del tutor programadas por la Universidad.
• Plantean sus inquietudes al tutor a través deChats, correo electrónico, clases virtuales.
• Reciben orientaciones del tutor de manera presencial.
LOGROS
El estudiante estará en capacidad de:

1. Dada una función, encontrar su dominio, puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión, intervalos de concavidad y esbozar su gráfica.

2. Determinar el comportamiento de una función conociendo sólo suderivada.

3. Dibujar gráficas de funciones que cumplan una lista de propiedades que involucren valores de la función en puntos, información sobre su primera y segunda derivada en puntos o subintervalos.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Trazar la gráfica de f (x) [pic]

Dominio: R

Interceptos con el eje y. Son los puntos en donde x = 0, para nuestro ejemplo:

[pic]

Asíntotas.Asíntotas verticales: Corresponden a los valores de x = a para los cuales [pic], pero en este caso, al tratarse de un polinomio ocurre que: [pic] por lo tanto no hay asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales: Estas se presentan para los valores de y = b para los cuales
[pic]

Puntos críticos. Son aquellos puntos ( x , y ) para los cuales la derivada es cero ó no existe, veamos:

f '(x) =[pic]= 0
x = 3, x = −3.

Nota: Un polinomio es derivable en cualquier x

Intervalos de crecimiento. Una función f(x) es creciente en un intervalo I (donde es continua) si f ´(x) > 0 para cualquier x del intervalo I.

Analizamos el signo de f '(x).

La gráfica de f crece en (− ∞,−3]∪ [3,+∞).

Una función f(x) es decreciente en un intervalo I (donde es continua) si f ´(x) < 0 para cualquier xdel intervalo I.

La gráfica de f decrece en [− 3,3].

Máximos y mínimos. Un máximo, o , un mínimo local o relativo de una función f(x) continua se presenta donde f ´ (x) = 0 , o , donde f ´ (x) no existe. Estos puntos se denominan puntos críticos.

No todo punto crítico se convierte en máximo o mínimo.

Criterio de la segunda derivada.

Si x0 es un punto crítico tal que f ´ (x0) =0. Entonces en x0 existe un máximo local si f´´(x0) < 0.

Si x0 es un punto crítico tal que f ´ (x0) = 0. Entonces en x0 existe un mínimo local si f´´(x0) > 0.

En x = −3 hay máximo local y el valor de y es 58. (Verifíquelo)
En x = 3 hay mínimo local y el valor de y es -50. (Verifíquelo)

Concavidad.

Sea f(x) una función continua en un intervalo I, f(x) es cóncava hacia abajo endicho intervalo

si: f´´(x) < 0 para cualquier x del intervalo I.

Sea f(x) una función continua en un intervalo I, f(x) es cóncava hacia arriba en dicho intervalo

si: f´´(x) > 0 para cualquier x del intervalo I.

Intervalos de concavidad. Analizamos el signo de f ''(x)
La gráfica de f es cóncava hacia abajo en (− ∞,0).
La gráfica de f es cóncava hacia arriba en (0,∞)

Puntos deinflexión.

Los puntos de inflexión son aquellos donde cambia la concavidad.

Los puntos de inflexión se presentan donde la segunda derivada es cero o no existe.

f ''(x) = 6x = 0
x = 0 (Punto de inflexión)

Rango. R.

Gráfica

[pic]

2. [pic]

Dominio. R.
Intercepto con el eje y. x = 0, y = 0.
Raíces. [pic]
Asíntotas. No tiene.

Puntos críticos. f '(x) = [pic]

x = 0,...
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