graficacion 2

2.2 Coordenadas homogéneas y representación matricial.

Muchas aplicaciones gráficas implican secuencias de transformaciones geométricas. Por ejemplo, una animación podría requerir que se traslade y gire un objeto en cada incremento del movimiento. En aplicaciones de diseño y de creación de imágenes, realizamos traslaciones, rotaciones y escalaciones para ajustar los componentes de la imagenen sus posiciones apropiadas. Aquí, consideramos cómo se pueden volver a formular las representaciones de matriz que analizamos en las secciones anteriores de modo que se puedan procesar de manera eficiente esas secuencias de transformación.

En la sección 5-1 vimos que es posible expresar cada una de las transformaciones básicas en la forma de matriz general

P' = M1 • P + M2 (5-15)Con las posiciones de coordenadas P y P' representadas como columnas de vector. La matriz M1, es una matriz de 2 por 2 que contiene factores de multiplicación y M1, es una matriz de columnas de dos elementos que contiene términos de traslación. Para la traslación, M1 es la matriz de identidad. Para la rotación o la escalación, M2 contiene los términos de traslación asociados con el punto pivote oel punto fijo de escalación. Con el fin de producir una secuencia de transformaciones con estas ecuaciones, como escalación seguida por rotación y luego traslación, debemos calcular las coordenadas transformadas un paso a La vez. Primero, se escalan las posiciones de coordenadas, después se giran estas coordenadas escaladas y, por último, se trasladan las coordenadas giradas. Un planteamiento máseficiente combinaría las transformaciones de manera que se obtienen las posiciones de coordenadas finales directamente a partir de las coordenadas iniciales para eliminar así el cálculo de valores de coordenadas intermedias. Para poder efectuar esto, necesitamos formular de nuevo la ecuación 5-15 con el propósito de eliminar la adición de la matriz asociada con los términos de traslación en M2.Podemos combinar los términos de multiplicación y de adición para transformaciones geométricas bidimensionales en una sola representación de matriz al ampliar las representaciones de matriz de 2 por 2 a matrices de 3 por 3. Esto nos permite expresar todas las ecuaciones de matriz como multiplicaciones de matriz, si también ampliamos las representaciones de matriz para las posiciones decoordenadas. Para expresar cualquier transformación bidimensional como una multiplicación de matriz, representamos cada posición de coordenadas cartesianas (x, y) con la tres coordenadas homogéneas (xh, yh, h), donde

(5-16)


Por tanto, una representación general de coordenadas homogéneas se puede expresar también como (h•x, h•y, h). Para transformaciones geométricas bidimensionales,seleccionamos el parámetro homogéneo h como cualquier valor no cero. Así, existe un número finito de representaciones homogéneas equivalentes para cada punto de coordenadas (x, y). Una opción conveniente consiste en sólo establecer h = 1. Entonces, se representa cada posición bidimensional con las coordenadas homogéneas (x, y, 1). Se requieren otros valores para el parámetro h, por ejemplo, en lasformulaciones de matriz de transformaciones de vista tridimensionales.

En matemáticas, se utiliza el término coordenadas homogéneas para referirse al efecto de esta representación de ecuaciones cartesianas. Cuando se convierte un punto cartesiano (x,y) a una representación homogénea (xh, yh, h) las ecuaciones que contienen x y y, como f(x,y) = 0, se convierten en ecuaciones homogéneas en los tresparámetros xh, yh y h. Esto sólo significa que si se sustituye cada uno de los tres parámetros con cualquier valor v veces ese parámetro, el valor v se puede factorizar fuera de las ecuaciones.

Expresar posiciones en coordenadas homogéneas nos permite representar todas las ecuaciones de transformación geométrica nos permite representar todas las ecuaciones de transformación geométrica como...