Graficacion

Tema II: Transformaciones Geométricas
Dr. Omar Flores Sánchez

Unidad II Transformaciones Geométricas
Transformaciones Bidimensionales Coordenadas homogéneas y su representación matricial Composición de transformaciones bidimensionales Transformación ventana-área de vista Transformaciones de la composición general y de eficiencia computacional Representación matricial de transformacionestridimensional Composición de transformaciones tridimensionales

INTRODUCCIÓN

Se han construido figuras geométricas básicas, sin embargo, muchas aplicaciones (diseño y planos de construcción, una animación) requieren de alterar o manipular los despliegues. Los cambios de orientación, tamaño y forma se realizan con transformaciones geométricas que alteran las descripciones de las coordenadas delos objetos Las transformaciones básicas son traslación, rotación y escalamiento.

TRASNFORMACIONES BÁSICAS TRASLACIÓN
• Se aplica una traslación en un objeto para cambiar su •
posición de una dirección de coordenadas a otra. Convertimos un punto bidimensional al agregar las distancias de traslación (tx,ty) a la posición de coordenadas original (x,y) para mover el punto a una nueva posición(x',y'), es decir:

x’=x+tx y

y’=y+ty
P’ T

(2-1)

P

x

TRASNFORMACIONES BÁSICAS TRASLACIÓN
• Las ecuaciones de traslación en (2-1) se pueden expresar
en una ecuación matricial al utilizar vectores columna para expresar las posiciones de coordenadas y el vector de traslación

x1 P= x2

[]

x’1 P’= x’2

[] []
tx T= ty

(2-2)

• Esto permite expresar las ecuaciones detraslación
bidimensional en forma de matriz

P’= P+ T

(2-3)

TRASNFORMACIONES BÁSICAS TRASLACIÓN
• La traslación es una transformación de cuerpo rígido que
mueve objetos sin deformarlos

• Los segmentos de línea recta se trasladan al aplicar la ecuación

de transformación (2-3) en cada uno de los extremos de la línea y se vuelve a trazar las líneas entre las nuevas posiciones delos extremos

• ¿Cuál sería el procedimiento para trasladar un polígono?

y
5 5

x

TRASNFORMACIONES BÁSICAS TRASLACIÓN
Realice las siguientes actividades

• Construya un programa en Java que grafique y aplique

operaciones de traslación a las figuras que construyó en la unidad I rebotando. Tip: Auxiliése de sus conocimientos sobre física

• Ingenie un programa que simule elmovimiento de una pelota

TRASNFORMACIONES BÁSICAS ROTACIÓN
• Se aplica una rotación bidimensional en un objeto al • Elementos para generar una rotación:
1. Ángulo de rotación θ (theta) 2. La posición (xr,yr) del punto de rotación o pivote
P’

cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una circunferencia en el plano xy.

yr xr

θ
P

ROTACIÓN Ecuaciones de Transformación
•Ecuaciones de transformación para la rotación de la posición
de un punto P cuando el pivote está en el origen de las coordenadas

• Las relaciones angulares y de coordenadas de las posiciones
de puntos originales y transformadas se ilustran en la figura 2-4 origen, el ángulo Φ es la posición angular original del punto desde el plano horizontal y θ es el ángulo de rotación
(x’ ,y’)

• En estafigura, r es la distancia constante del punto desde el

Fig. 2-4

r r
Φ

θ

(x ,y)

ROTACIÓN Ecuaciones de Transformación
• Utilizando identidades trigonométricas estándar, podemos expresar
las coordenadas transformadas en términos de los ángulos θ y Φ como

x' = r cos (Φ + θ) = r cos Φ cos θ - r sen Φ sen θ y' = r sen (Φ + θ) = r cos Φ sen θ + r sen Φ cos θ

(2-4)

• Lascoordenadas originales del punto en las coordenadas polares
son

x = r cos Φ, y = r sen Φ

(2-5)

• Al sustituir las ecuaciones (2-5) en (2-4), obtenemos las ecuaciones
de transformación para girar un punto en la posición (x,y) a través de un ángulo θ alrededor del origen:

ROTACIÓN Ecuaciones de Transformación
• Al sustituir las ecuaciones (2-5) en (2-4), obtenemos las ecuaciones
de...