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ARITMÉTICA TEMA Nº 10 -11:
MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO
Magnitud: Es todo aquello que se puede medir o cuantificar. Ejemplo: El tiempo, la masa, la velocidad. Magnitudes Directamente Proporcionales (DP): Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales y se representa A DP B, cuando dado un conjunto de valores no negativosde A: a1, a2,...,an y los correspondientes valores no negativos de B: b1, b2,...,bn, existe una constante k > 0 tal que .
ai
=k

bi,

i = 1, 2,...,n
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Si graficamos los valores que toman las magnitudes A y B, encontraremos que se originaran puntos que se ubican sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas.

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Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP): 4 3 2 Dosmagnitudes A y B son inversamente proporcionales, se representa A IP B, cuando la razón de los valores que toma A y las inversas de los valores correspondientes que toma la otra magnitud B, es igual a una constante. Si: A : a1 ; a2 ; a3 ; ... an a3 a1 a2 an ........ k B : b1 ; b2 ; b3 ; ... bn 1 1 1 1 y si : A IP B, entonces b b b b
1 2 3 n

a1b1 = a2b2 = a3b3 = ......an bn = k Lo que quiere decirque el producto de los valores correspondientes que toman las dos magnitudes inversamente proporcionales debe permanecer constante. Si graficamos los valores que toman las magnitudes A y B, encontraremos que se originaran puntos que se ubican en la parte positiva de una hipérbola equilátera.
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34 2 2 3 4 5 6

Propiedades: 1. Si A IP B  A DP 1/B 2. Si A DP B  An DP Bn 3. Para magnitudesque intervienen en un mismo aspecto de cierto fenómeno, por ejemplo las magnitudes A, B y C: Si y A DP B A DP C
A DP (B x C)

(Cuando C es constante) (Cuando B es constante)
A B C k

4. Transitividad: Si A DP B (En un determinado fenómeno natural) y en forma independiente: B DP C Entonces: A DP C REPARTO PROPORCIONAL Existen 2 clases de reparto proporcional: a) Simple - Directo (DP) - Inverso(IP) b) Compuesto Dentro de este caso se resuelve la regla de compañía. a.1) Reparto proporcional simple directo: Para esto se debe recordar la relación proporcional directa entre 2 magnitudes. Si A DP B
A B k

Ejemplo: Dividir 600 en 3 partes que sean DP a los número 4,6 y 10 Resolución: Sean las partes: x1, x2 y x3 Se deben cumplir:

x1 + x2 + x3 = 600 ................. (1) x1 x 2 x 3................. (2) 4 6 10 Simplificando y aplicando la propiedad fundamental del conjunto de razones geométricas x x 2 x 3 600 x1 x 2 x 3 60 iguales. = 1 = 2 3 5 2 3 5 10 De aquí: x1 = 2.60 = 120 x2 = 3.60 = 180 x3 = 5.60 = 300 a.2) Reparto proporcional simple inverso: Aquí debemos aplicar: Si A IP B A DP 1/B

Ejemplo: Dividir 124 en 3 partes que sean IP a 2, 3 y 5 Resolución: x1 + x2 + x3 = 124................. (1) x1 x 2 x 3 ................. (2) 1 1 1 2 3 5 En la ecuación (2) x3 x1 x2 ; 30 = MCM (2, 3, 5) 1 1 1 30 30 30 2 3 5 x1 x 2 x 3 x x x 124 = 1 2 3 4 15 10 6 15 10 6 31 x1 = 15 * 4 = 60 x2 = 10 * 4 = 40 x3 = 6 * 4 = 24 b.1) Reparto proporcional compuesto. En este caso se presentan varias condiciones de proporcionalidad directas e inversas combinadas de varias formas, y para estose debe aplicar el siguiente teorema: Si: A DP B cuando C y D son constantes A DP C cuando B y D son constantes A DP D cuando B y C son constantes Entonces A DP (B.C.D.) cuando todas varían y la relación proporcional compuesta es:
A B C D k

Ejemplo: Dividir 90 en 3 partes que sean D.P. A 2,3 y 5 además deben ser IP A 4,5 y 6 y también DP A 12,15 y 9. Resolución: El reparto IP A 4,5 y 6 seconvierte en DP A ¼, y 1/5 y 1/6 y se aplica el teorema x3 x1 x2 anterior, luego: 1 1 1 2 12 3 15 5 9 4 5 6 x x1 x Simplificando: = 2 = 3 15 6 9 2 x x2 x3 x x x 90 De donde: 1 = 2 = 3 = 1 = =2 12 18 12 18 15 15 45 Luego: x1 = 12 . 2 = 24 x2 = 18 . 2 = 36 x3 = 15 . 2 = 30 PROBLEMAS 01. En una panadería el salario es directamente proporcional al cuadrado de la edad de sus trabajadores. Si se sabe que...