Grecia

1 Lo que no se puede ignorar

En este libro usaremos sistem´ticamente conceptos matem´ticos elemena a tales que el lector o la lectora ya deber´ conocer, aunque podr´ no ıa ıa recordarlos inmediatamente. Por consiguiente aprovecharemos este cap´ ıtulo para refrescarlos y tambi´n para introducir nuevos conceptos que pertenecen al campo del e An´lisis Num´rico. Empezaremos explorando susignificado y utilidad a e con la ayuda de MATLAB (MATrix LABoratory), un entorno integrado para la programaci´n y la visualizaci´n en c´lculo cient´ o o a ıfico. Tambi´n e usaremos GNU Octave (abreviadamente, Octave) que es en su mayor parte compatible con MATLAB. En las Secciones 1.6 y 1.7 daremos una r´pida introducci´n a MATLAB y Octave, que es suficiente para el a o uso que vamos a hacer aqu´ Tambi´nincluimos algunas notas sobre las ı. e diferencias entre MATLAB y Octave que son relevantes para este libro. Sin embargo, remitimos a los lectores interesados al manual [HH05] para una descripci´n del lenguaje MATLAB y al manual [Eat02] para una o descripci´n de Octave. o Octave es una reimplementaci´n de parte de MATLAB que incluye o una gran parte de los recursos num´ricos de MATLAB y se distribuye elibremente bajo la Licencia P´blica General GNU. u A lo largo del texto haremos uso frecuente de la expresi´n “comando o de MATLAB”; en ese caso, MATLAB deber´ ser entendido como el ıa lenguaje que es el subconjunto com´n a ambos programas MATLAB y u Octave. Hemos procurado asegurar un uso transparente de nuestros c´digos o y programas bajo MATLAB y Octave. En los pocos casos en los que esto nose aplica, escribiremos una corta nota explicativa al final de la correspondiente secci´n. o En el presente Cap´ ıtulo hemos condensado nociones que son t´ ıpicas ´ de cursos de C´lculo, Algebra Lineal y Geometr´ reformul´ndolas sin a ıa, a embargo de una forma apropiada para su uso en el c´lculo cient´ a ıfico.

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1 Lo que no se puede ignorar

1.1 N´meros reales u
Mientras que el conjuntode los n´meros reales R es conocido por todo el u mundo, la manera en la que los computadores los tratan es quiz´s menos a conocida. Por una parte, puesto que las m´quinas tienen recursos limia tados, solamente se puede representar un subconjunto F de dimensi´n o finita de R. Los n´meros de este subconjunto se llaman n´meros de punto u u flotante. Por otra parte, como veremos en la Secci´n 1.1.2, Fest´ caraco a terizado por propiedades que son diferentes de las de R. La raz´n es que o cualquier n´mero real x es truncado, en principio, por la m´quina dando u a origen a un nuevo n´mero (llamado n´mero de punto flotante), denotado u u por f l(x), que no necesariamente coincide con el n´ mero original x. u 1.1.1 C´mo representarlos o Para conocer la diferencia entre R y F, hagamos unos cuantosexperimentos que ilustren la forma en que el computador (un PC por ejemplo) trata los n´meros reales. N´tese que utilizar MATLAB u Octave en lugar de u o otro lenguaje es tan solo una cuesti´n de conveniencia. Los resultados de o nuestro c´lculo dependen, en efecto, primariamente de la manera en que a el computador trabaja y s´lo en menor medida del lenguaje de prograo maci´n. Consideremos el n´meroracional x = 1/7, cuya representaci´n o u o ´ o decimal es 0.142857. Esta es una representaci´n infinita, puesto que el n´mero de cifras decimales es infinito. Para obtener su representaci´n u o en el computador, introducimos despu´s del prompt (el s´ e ımbolo >>) el cociente 1/7 y obtenemos
>> 1/7

>>

ans = 0.1429 que es un n´mero con s´lo cuatro cifras decimales, siendo la ultima u o ´diferente de la cuarta cifra del n´mero original. u Si ahora consider´semos 1/3 encontrar´ a ıamos 0.3333, as´ que la cuarta ı cifra decimal ser´ exacta. Este comportamiento se debe al hecho de que ıa los n´meros reales son redondeados por el computador. Esto significa, u ante todo, que s´lo se devuelve un n´mero fijo a priori de cifras decimales, o u y adem´s la ultima cifra decimal se incrementa...