Grupos profinitos

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GRUPOS PROFINITOS Y ENTEROS p-ADICOS
Grupos y anillos
MA0561
Andr´s Avila Madrigal

´
INTRODUCCION
El tema central de este trabajo corresponde a los grupos profinitos y la relaci´n que tienen
o
estos con el anillo de n´meros p-´dicos Zp , esta relaci´n se establecer´ v´ l´
u
a
o
a ıa ımites proyectivos de
grupos topol´gicos. Adem´s se expondr´n una serie de resultados quecaracterizan a los grupos
o
a
a
profinitos por medio de conceptos propios de los espacios topol´gicos.
o
PRELIMINARES
Definiciones.
Espacio topol´gico. Sea X un conjunto no vac´ Una colecci´n de conjuntos T de subcono
ıo.
o
juntos de X es una topolog´ de X si y solo si T satisface los siguientes axiomas:
ıa
A1 : El conjunto vac´ y X est´n en T .
ıo
a
A2 : La intersecci´n de cualquiercolecci´n finita de conjuntos de T est´ tambi´n en T .
o
o
a
e
A3 : La uni´n de toda colecci´n de conjuntos de T est´ tambi´n en T .
o
o
a
e
Los conjuntos en T se llaman T -abiertos o simplemente abiertos y el par (X, T ) es un espacio
topol´gico.
o
Base de una topolog´ Una base B de un espacio topol´gico (X, T ) es una colecci´n de
ıa.
o
o
abiertos de T que verifica que todo abierto dela topolog´ T puede expresarse como uni´n de los
ıa
o
elementos de B .
Proposici´n 1. Una colecci´n de conjuntos abiertos B es una base de un espacio topol´gico
o
o
o
(X, T ) si y solo si para cada abierto V y para cada x ∈ V , existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ V .
Demostraci´n. En efecto, si B es una base de la topolog´ y si x ∈ V , como V =
o
ıa

Bi , Bi ∈ B
i∈ I

existe j ∈ I tal quex ∈ Bj , es decir, x ∈ Bj ⊆ V . Rec´
ıprocamente, si V es un conjunto abierto
para cada x ∈ V por hip´tesis existe Bx ∈ B con x ∈ Bx ⊆ V y entonces
o
{ x} ⊆

V=
x∈V

Por tanto, V =

Bx
x∈V

Bx ⊆ V
x∈ V

Observaci´n. Si x ∈ X , una base de x es una colecci´n de {Ui }i∈I de conjuntos abiertos que
o
o
contienen a x tales que cada conjunto abierto V que contiene a x contienealguno de los Ui .
Espacio topol´gico Hausdorff. Un espacio topol´gico X es un espacio de Hausdorff, si para
o
o
todo x, y ∈ X existen conjuntos abiertos Ux , Uy con x ∈ Ux , y ∈ Uy tales que Ux ∩ Uy = ∅.
Espacio topol´gico totalmente disconexo. Un espacio topol´gico se dice que es totalmente
o
o
disconexo si los unicos subconjuntos conexosson los unitarios.
´
Grupo topol´gico. La terna (G, T, ∗) se llama un grupo topol´gico si:
o
o
(i) (G, T ) es un espacio topol´gico.
o
(ii) (G, ∗) es un espacio topol´gico.
o
(iii) Las funciones

1

χ:G×G→G

θ:G→G
g → g −1

(g1 , g2 ) → g1 g2
son continuas.

Producto de conjuntos. Sea {Xi : i ∈ I } una clase cualquiera de conjuntos y sea X el
producto cartesiano de esos conjuntos, es decir, X =

Xi . Denotamos los puntos de Xcomo los
i∈ I

x = xi : i ∈ I donde xi ∈ Xi .
La i0 - ´sima funci´n proyecci´n. Para cada i0 ∈ I se define la proyecci´n πi0 del conjunto
e
o
o
o
producto X en el espacio coordenado Xi0 como πi0 : X → Xi0 por
πi0 ( xi : i ∈ I ) = xi0
La topolog´ producto. Sea {(Xi , Ti )} una colecci´n de espacios topol´gicos y sea X el
ıa
o
o
producto de los conjuntos Xi . La topolog´ menos fina de Tde X respecto a la cual son continuas
ıa
todas las proyecciones πi : X → Xi recibe el nombre de topolog´ producto. El conjunto producto
ıa
X junto con la topolog´ T , es el espacio topol´gico producto.
ıa
o
Topolog´ cociente. Sea (X, T ) un espacio topol´gico y f : X → Y sobreyectiva, entonces la
ıa
o
colecci´n de subconjuntos de Y
o
T (f ) = U ⊆ Y : f −1 (U ) ∈ T
es una topolog´sobre Y llamada la topolog´ cociente inducida sobre Y por f .
ıa
ıa

1 El

conjunto G × G es un espacio topol´gico con la topolog´ producto
o
ıa

Teorema 1. Sea {Xi }i∈I una familia no vac´ de espacios topol´gicos.
ıa
o
(a)

Xi es compacto si y solo si Xi es compacto para cada i ∈ I .

El producto
i∈I

Xi es un espacio de Hausdorff si y solo si Xi es Hausdorff para cada i ∈ I ....
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