Gráfica De Funciones

FUNCIÓN
CONCEPTOS, EJEMPLOS Y EJERCICIOS

Sean A y B subconjuntos de R.
Cuando existe una relación entre las variables, x e y , donde x A e y B , en la que a cada valor de la variable independiente X le corresponde un único valor de la variable dependiente Y, diremos que dicha relación es una función.

f : A B

Diremos que y es la imagen de x por la función f, en símbolos y = f(x).

Una forma de representar una función es mediante una gráfica en un plano de coordenadas cartesianas.

Dom f = [ a , b ] Im f = [ c , d ]

Al conjunto formado por todos los valores que toma la variable independiente x lo denominamos dominio de la función y lo denotamos Df o Dom f.

Al conjunto formado por todos los valores que toma la variabledependiente y tales que y = f (x) para algún x A , lo denominamos imagen de la función y lo denotamos Im f.

Para una función f : A B , se tiene que A = Dom f e Im f B

Analicemos los siguientes gráficos, que muestran relaciones de A en B, donde A = [ 1 , 5 ] y B = [ 0 , 5 ] :

Grafico 1 Grafico 2 Gráfico 3

Observemos que:
El Gráfico 1 no representauna función pues hay elementos del dominio que tienen más de una imagen. Por ejemplo: f (3) = 2 y f (3) = 4.

El Gráfico 2 corresponde una función puesto que todos los elementos de A tienen una única imagen en B.

El Gráfico 3 no representa una función pues hay elementos de A que no tienen imagen, por ejemplo: 3 y los elementos que pertenecen al intervalo ( 4 , 5 ] .

Del Gráfico 2 querepresenta una función resulta: Dom f = [ 1 , 5 ] e Im f = [ 0 , 4 ]

Cuando la función viene dada por una fórmula, el mayor dominio de definición es el conjunto de los valores de x para los cuales se puede calcular f (x).

Ejemplos:

Si f (x) = 2x . ¿Para qué valores de x es posible calcular 2 x ?.

Claramente es posible calcular 2 x para cualquier número real x.Luego: Dom f = R

Si . ¿Es siempre posible calcular dicho cociente?.

Como la división por 0 no está definida debe ser x - 1 0 , o sea x 1.
Luego: Dom f = R - {1}

Si .

Dom f = [ -2 , + ) . ¿Por qué?

Ejercicios de Aplicación::

Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones. Justificar.

* Hallar el dominio y la imagen de los quecorresponden a función.

* Dados los siguientes gráficos correspondientes a funciones, determinar los conjuntos dominio e imagen de cada una de ellas:

* Para las funciones representadas, estimar, a partir de su gráfico, los valores que se indican.

f (1) ; f (2) ; f (2,5) ; f (4) ; f(5).
Los valores de x tales que f (x) = 0.
g(- 1,5) ; g(- 0,5) ; g(0) ; g(0,5) ;g(4).
Los valores de x tales que g(x) = 2.
Los valores de x tales que g(x) = -2.

* En los siguientes casos, ¿ y es una función de x ?, ¿ x es una función de y ?. Según sea la respuesta, indicar dominio e imagen:

x representa un número natural e y, el resto de dividir ese número natural por 4.
x representa una persona e y, su número de teléfono.

* Calcular el máximodominio de las funciones dadas por:

f (x) = 3 x – 1
f (x) =
f (x) =
f (x) = x
f (x) =
f (x) =

* En cada caso, calcular, si es posible, f (0) , f (-0,8) , f (0,8) , f (-1) , f (1) , f (-4,25) , f (4,25) y decir cuál es el dominio de la función f :

f (x) = - 3 x + 2
f (x) = - 4
f (x) = x2 + 2 x - 5
f (x) = - x3 + x2 - 2 x + 4
f (x) =
f (x)=

* Para una experiencia de Biología, se midió el largo y el ancho de las hojas de una rama y se obtuvieron los datos que aparecen en la tabla. Tener en cuenta que el largo y el ancho de las hojas de una rama cualquiera siempre guardan el mismo tipo de relación.

Largo (cm) | Ancho (cm) |
6,5 | 5 |
6,2 | 4,8 |
5,6 | 4,1 |
5,1 | 3,9 |
4,5 | 3,5 |

a) Representar los datos...