Guía de matemática

Departamento de Matemática y física
Año: 4to de ciencias
Prof.: Anónimo
Simbología matemática

Resumen del Primer y Segundo parcial teórico
Conjuntos
Def. Llamamos conjunto a una colección de objetos y a los objetos los que lo forman se les
llaman elementos del conjunto.
Importante: Llamaremos universo al conjunto que en un momento dado es usado como marco
referencia para formarconjuntos.
Def. Diremos que un conjunto esta descrito por enumeración si se han dado explícitamente
todos sus elementos y esta descrito por compresión si sus elementos están dados en forma
implícita mediante una frase que los describa.
Proposiciones
Def: Una expresión que deba ser verdadera o falsa pero no ambas, la llamamos proposición.
Proposición abierta: Existen algunas afirmaciones de lascuales no podemos decir inicialmente
si son falsas o verdaderas por intervenir en ellas una variable.
Ejemplo:
1)
es un número primo.
2) El es el profesor fundador del Colegio.
3) Este país está en Latinoamérica.

Def: Una proposición abierta es una expresión que contiene una variable y que al ser sustituida
dicha variable por un valor determinado, hace que la expresión se convierta en unaproposición.
Def. El conjunto que consiste de los elementos que pueden reemplazar a la variable de una
proposición abierta, lo llamaremos el dominio de la variable.
Def. El conjunto formado por aquellos elementos del dominio de la variable que hacen
verdadera la proposición abierta; denominada P(x), lo llamaremos el conjunto solución de la
preposición.
Conjunción y Disyunción
Ya quematemáticas es un lenguaje un tanto especial de tal manera que las letras como:
(y) , (o) las denotamos como:
.
Def. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo conjunción
, la llamaremos proposición conjuntiva.
De tal manera que:
tendra un valor de verdad verdadero, solo cuando ambas
componentes sean verdaderas, es decir, si al menos una de las componentes esfalsa, entonces
es falsa.
Este hecho es importantísimo en las matemáticas ya que usaremos el conectivo
encontrar un conjunto a partir de dos conjuntos dados.

para

Def. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, entonces definiremos el conjunto A intersección B,
que denotaremos por
como se sigue:

Por lo tanto, si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x),entonces el conjunto solución de “p(x) q(x)” es
Def. El conjunto vacio que denotaremos por
decir que:

es el conjunto que no tiene elementos. Podemos

o simplemente ,

{ }

Def. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo

le

llamaremos proposición disyuntiva.
De tal manera que:
tendra un valor de verdad falso sólo cuando ambas componentes seafalsas, es decir, si al menos una de las componentes es verdadera, entonces
es verdadera.
Ahora mediante la disyuntiva definiremos la unión de dos conjuntos.
Def. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, entonces definiremos el conjunto A unión B, que
denotaremos por
como se sigue:

Por lo tanto, si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x),
entonces elconjunto solución de
de la proposición “p(x) q(x)”.
Por otro lado, introduciremos la definición de Conjunto producto cartesiano: Sean A y B dos
conjuntos cuales quiera y sea
el conjunto P.C definido como:

Relaciones Binarias
Def. Sea A y B dos conjuntos. Una relación de X en Y es un Sub-conjunto R de

. Es decir:

Observaciones: X es el conjunto de partida y B el conjunto de llegada dela relación.
Los elementos de R son pares ordenados. Si
escribiremos

es un elemento de R, en lugar de

,

. Es decir:
se lee “ x está relacionado y , según la relación R”.

Def. Sea R una relación de X en Y. El dominio de R es el conjunto:

y también el

.

Def. Sea R una relación de A en B. Se llama relación inversa de R a la relación
viene dada por:

de Y en X y

....