Guía Sistema de Ecuaciones

República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria, Ciencia y Tecnología.
Universidad Nacional Experimental “Simón Rodríguez”
Núcleo: Caricuao
Lic. Abraham José González Olivo


SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definición de Ecuación Lineal: Llamaremos ecuación lineal a cualquier ecuación polinómica de grado 1 con una o varias incógnitas.Ejemplos:

3x = 5
3x + 2y = 7
2x - 4y + 6z = -2

Definición: Diremos que dos ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Ejemplos:

3x = 5 es equivalente a 2x -1 = x +4

3x + 2y = 7 es equivalente a 5x +y -1 = 2x –y +6

Definición: Llamaremos sistema de m ecuaciones con n incógnitas, a un conjunto de ecuaciones de la forma:

(S)

Loselementos son los coeficientes del sistema.
Los elementos xi son las incógnitas del sistema.
Los elementos bj serán los términos independientes.

Ejemplos:

es un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas

no es un sistema lineal

Definición: Llamaremos solución del sistema anterior (S), a todo vector o n-upla (s1, s2,…..,sn) que verifique todas las igualdades delsistema.


Definición: Discutir un sistema consiste en decir si tiene o no solución.


Definición: Resolver un sistema será hallar el conjunto de sus soluciones.
Atendiendo al número de soluciones, podemos clasificar los sistemas de la siguiente forma:

Si el sistema no tiene solución diremos que es incompatible.
Si el sistema tiene solución diremos que es compatible.

Si el sistema tiene una únicasolución diremos que compatible y determinado.
Si tiene infinitas soluciones diremos que es compatible e indeterminado.



Definición: Llamamos sistemas homogéneos a los que tienen todos los términos independientes nulos.

Ejemplo:



Estos sistemas siempre admiten la solución (0, 0, 0,......,0) que recibe el nombre de solución trivial, por tanto, los sistemas homogéneos son siemprecompatibles.

Sistemas de ecuaciones equivalentes.

Definición: Dos sistemas de ecuaciones lineales diremos que son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto de soluciones.

Ejemplos
Los sistemas y son equivalentes ya que tienen las mismas

soluciones (x=1, y=0, z=2)

Sin embargo, puestos a elegir, preferimos el segundo ya que se resuelve mejor.

Es importante saber que todo sistema se puedetransformar en otro equivalente realizando una serie de transformaciones.

Teniendo en cuenta que una combinación lineal de ecuaciones es una suma de ecuaciones multiplicadas por números cualesquiera y sumadas, de la forma



la ecuación es una combinación lineal. (Los números se llaman coeficientes de la combinación lineal.)

Veamos entonces que transformaciones podemos hacer en unsistema de ecuaciones para obtener otro equivalente:

1. Intercambiar dos ecuaciones entre sí.
2. Multiplicar una ecuación por un número real distinto de cero.
3. Sustituir una ecuación por la que resulta de sumarle una combinación lineal de las restantes.
4. Eliminar cualquier ecuación que se encuentre repetida.
5. Eliminar una ecuación del tipo: 0x1 + 0x2 + …..+ 0xn = 0.
6. Eliminar una ecuación quesea combinación lineal de las restantes.

Expresión Matricial de un Sistema:

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:
Sea un sistema de m ecuaciones con n incógnitas cualquiera:



Podemos considerar entonces las siguientes matrices:



La matriz A recibe el nombre de matriz de coeficientes, la matriz X es lamatriz de incógnitas y la matriz B es la matriz de los términos independientes.

En tal caso nuestro sistema se podrá expresar como: A·X=B.

Por tanto, resolver el sistema equivale a hallar la matriz X anterior, que será X=A-1·B

Por otra parte, podemos expresar también nuestro sistema en forma vectorial . Veámoslo.

Sea un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Entonces, lo...