GUIA 01 Teorema De Bayes

ESTADISTICA II

Estimación de Parámetros Poblacionales

Autor: Pablo Tapia

Corrector: Luis Araya

Universidad de Chile
Economía & Negocios

GUIA No. 1 DE EJERCICIOS RESUELTOS
APLICACIONES DEL TEOREMA DE BAYES
Profesor: Pablo Tapia

PROBLEMA 1.
Un analista de bolsa examina las perspectivas de las acciones de un gran número de compañías.
Cuando se investigó el comportamiento de estas acciones unaño antes, se descubrió que un
25% experimentó un crecimiento superior al de la media, otro 25% fue inferior y el 50%
restante se mantuvo alrededor de la media. El 40% de los valores que crecieron por encima de
la media fueron clasificados como “buenas adquisiciones” por el analista, al igual que el 20% de
las que crecieron alrededor de la media y el 10% de las que tuvieron un crecimiento inferior.Parte i.- ¿Cuál es la probabilidad de que un valor clasificado como buena adquisición por el
analista crezca por encima de la media del mercado?
Parte ii.- ¿Cuál es la probabilidad de que un valor clasificado como buena adquisición por el
analista se mantenga constante con respecto a la media de mercado?
Parte iii.- ¿Cuál es la probabilidad de que una acción sea clasificada por el analista comobuena
adquisición?
Respuesta
Será necesario definir algunos términos para comprender mejor el proceso algebraico
requerido, entonces:
A1 : Acciones que tuvieron alzas favorables en su valor bursátil
A2 : Acciones que se mantuvieron constante su valor bursátil
A3 : Acciones que tuvieron disminución en su valor bursátil.
Además es posible establecer que:
B : La acción se considera “buena adquisición”Entonces, según lo señalado en el enunciado se puede establecer las siguientes probabilidades:
Pr( A1 ) = 0,25 ; Pr( A2 ) = 0,5 ;
Pr( A3 ) = 0,25
y como Probabilidades condicionadas tenemos que:
Pr( B / A1 ) = 0,4 ; Pr( B / A2 ) = 0,2 ; Pr( B / A3 ) = 0,1
Por lo tanto, las respuestas a nuestros problemas son:
Parte i.Pr( B / A1 ) Pr( A1 )
Pr( B / A1 ) Pr( A1 ) + Pr( B / A2 ) Pr( A2 ) + Pr( B / A3) Pr( A3 )
0,4 ⋅ 0,25
Pr( A1 / B) =
= 0,44
0,4 ⋅ 0,25 + 0,2 ⋅ 0,5 + 0,1 ⋅ 0,25

Pr( A1 / B) =

Parte ii.Pr( A2 / B) =

Pr( B / A2 ) Pr( A2 )
Pr( B / A1 ) Pr( A1 ) + Pr( B / A2 ) Pr( A2 ) + Pr( B / A3 ) Pr( A3 )
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ESTADISTICA II

Estimación de Parámetros Poblacionales

Autor: Pablo Tapia

Corrector: Luis Araya

Pr( A2 / B) =

0,2 ⋅ 0,5
= 0,44
0,4 ⋅ 0,25 + 0,2 ⋅ 0,5 + 0,1 ⋅ 0,25

Parteiii.Para resolver este problema podemos utilizar el concepto de sigma álgebra, por lo tanto, la
probabilidad para el conjunto B, se puede denotar a través de la intersección entre subconjuntos y luego aplicamos el teorema de Bayes para probabilidades condicionadas, tal como:
Pr( B) = Pr( B ∩ A1 ) + Pr( B ∩ A2 ) + Pr( B ∩ A3 )
Pr( B) = Pr( B / A1 ) Pr( A1 ) + Pr( B / A2 ) Pr( A2 ) + Pr( B / A3 ) Pr( A3)
Pr( B) = 0,4 ⋅ 0,25 + 0,2 ⋅ 0,5 + 0,1 ⋅ 0,25 = 0,225

PROBLEMA 2.
Suponga que la distribución inicial de un parámetro θ es una distribución gamma cuya media es
10, y la varianza es 5. Determinar la función de distribución inicial de θ .
Respuesta
Se tiene que la función de distribución inicial gamma corresponde a:
ξ (θ ) =

β α α −1 − βθ
θ e
Γ(α )

E (θ ) = αβ −1 ; var(θ ) = αβ − 2

por lotanto, para los valores descritos en el enunciado tenemos:
E (θ ) = αβ −1 = 10; var(θ ) = αβ −2 = 5 ⇒ α = 20; β = 2

por lo tanto, la función de distribución inicial solicitada es:
ξ (θ ) =

2 20 19 −2θ
θ e
Γ(20)

Observación: Es importante señalar que la función gamma evaluada en un número entero, es
siempre igual al factorial del número entero por el cual se está evaluando, por lo tanto, laexpresión anterior se puede escribir como:
ξ (θ ) =

2 20 19 − 2θ
θ e
20 !

PROBLEMA 3.
Suponga que {x i }Ti=1 constituye una muestra aleatoria de una distribución cuya función de
distribución f ( x / θ ) es la siguiente.
⎧⎪θxθ −1
f (x /θ ) = ⎨
⎪⎩ 0

para 0 < x < 1
en otro caso

Suponga además que el valor del parámetro θ es desconocido (θ > 0) y que la distribución
inicial de θ es una distribución...