Guia_3_Calculo_3 2do_2015

Independencia-Pluralismo-Compromiso
Facultad de Ingenier´ıa
Departamento de Ciencias B´
asicas

Guia 3, C´
alculo III
Funciones Vectoriales-Curvas
Segundo Semestre 2015

1. Calcular los siguientes l´ımites:
1) l´ım

1 − 5t
t
, √ ,4
2
t +1
t

4) l´ım

√ sen 7t √t
t,
,t
8t

t→3

t→0+

2. Hallar

2) l´ım
t→0

5)

1 − cos t 4 1−t2
,t ,e
5t

l´ım

t→+∞

3)

l´ım

t→+∞

2t2 − 3
(t − 1)3
,
3,
7t2 + 44t2 + 1

1 − t2
1 (t − 3)3
,
,
t6 + t2 + 2 t t3 − 1

→
−
−
r (2 + h) − →
r (2)
para la funci´on dada
h→0
h
l´ım

→
−
1→
− √
→
−
−
1) →
r (t) = 5t2 i + j − 3 t + 2 k
t
3. Determine si la funci´on F (t) dada por

sen 4t 2


,t − 1

t
F (t) =



(4, −1)

→
−
→
−
→
−
−
2) →
r (t) = e−t i + ln t j − 4 k

, t ∈]0, π]
es continua.
, t=0

4. Representar la curva intersecci´on de las superficiesmediante una funci´on vectorial usando el par´ametro dado
a) z = x2 + y 2 , x + y = 0, x = t.
b) x2 + y 2 = 4, z = x2 , x = 2 sen t.
c) x2 + y 2 = 9, y 2 + z 2 = 9, x = t en el primer octante.
5. Calcular la derivada de las siguientes funciones vectoriales
−
1) →
r (t) = (t, t4 )

√
−
2) →
r (t) = (ln(4 − t2 ), 4 1 − t2 , cosec t)

→
−
t−1 →
−
−
2→
−
−
3) →
r (t) = tet i + (
) j + arc tg(2t) k 4) →
r(t) = (e−t sen t, e−t cos t, e3t )
t+1
−
−
6. Sean →
r (t) = (t, 2t3 , 1 − t2 ), →
u (t) = (2, 3t, 4t2 ) con t ∈ [1, 4].

a) Calcular
b) Calcular

d →
[−
r (t)
dt
−
d →
[ r (t)
dt

−
−
−
×→
u (t)] y dtd [→
u (t) × →
r (t)]. ¿Son iguales?, justificar.
→
−
−
→
−
d →
· u (t)] y [ u (t) · r (t)]. ¿Son iguales?, justificar.
dt

−
c) Hallar el valor de || dtd →
u (t)|| y

d →
||−
u (t)||
dt

para t =2.¿Son iguales?, justificar.

−
→

7. Calcular ddwr por la regla de la cadena y comprobar despues los resultados expresando
→
−
r en t´erminos de w y derivando.
−
−
1) →
r (t) = (t, t2 , et ), t = 4w + 1 2) →
r (t) = (3 ln(4 − t2 ), 2 sen(2t), 4), t = w2
−
8. Hallar →
r (t) para
−
−
−
1) →
r (t) = (t − sen t, 1 − cos t) 2) →
r (t) = (2 cos3 2t, 3 sen3 t) 3) →
r (t) = ( 3t , t5 , t+1
)
t−1
9.Determinar la ecuaci´on de la recta tangente a la curva con ecuaciones param´etricas
dadas, en el punto especificado.
1) x = t cos 2πt, y = t sen 2πt, z = 4t , (0, 14 , 1)

2) x = t, y = t2 , z = t3 , (1, 1, 1)

3) x = 1 + 2t, y = 1 + t − t2 , z = 1 + t − t3 , (1, 1, 1)
10. El plano normal a una curva en un punto P de esta es el plano que contiene a P y
es perpendicular al vector tangente a la curva en P. Determinar el plano normal a las
curvas del ejercicio anterior en los puntos se˜
nalados.
→
−
11. Encontrar el vector tangente unitario T (t) en el punto con el valor del par´ametro t
dado.
−
−
1) →
r (t) = (2t, 3t2 , 4t3 ) , t = 1
2) →
r (t) = (e2t , e−2t , te2t ) , t = 0
→
−
→
−
→
−
−
3) →
r (t) = t i + 2 sen t j + 3 cos t k , t = π/2
−
−
−
r (t) = (sen πt, 2 sen πt, cos πt) y considerar de12. Sean A = →
r (0) y B = →
r ( 21 ), donde →
−
las rectas tangentes a la curva →
r (t) en A y B. Determinar el correspondiente punto de
intersecci´on.
13. Hallar la integral indefinida
1)

→
−
→
−
(6t2 i + sen 3t j +

−
5t →
k )dt
2
1−t

2)

−
→
−
2→
(te−t i + t j −

−
ln 2t →
k )dt
t

14. Evaluar la integral
π/2

1)

1

→
−
→
− →
−
(cos t i + j + sen t k )dt 2)

0

4

→
−
→
−
→
−
(t i + t2 j + t3k )dt 3)

0

−
15. Encontrar →
r (t) si:
→
−
→
−
−
a) r (t) = (t2 , 4t3 , −t2 ) con →
r (0) = j .
→
−
→
−
−
→
−
→
−
→
−
→
− →
−
b) r (t) = cos t i − 2 sen t j + 5t3 k con →
r (0) = 3 i − 2 j + k .

1

√→
−
1→
−
→
−
( t i + e−t j + 2 k )dt
t

→
−
→
−
−
−
16. Determinar →
r (t) si r (t) = (−4 cos t, 0, − sen 5t) con r (0) = (0, 0, 3) y →
r (0) =
(0, 4, 0).
17. Encontrar los vectores velocidad yaceleraci´on, para un part´ıcula que se mueve sobre
la curva dada.
−
−
1) →
r (t) = (1 + t, 2 − t2 , 7 − t3 ) , t = 1 2) →
r (t) = (et cos t, et sen t, t)
→
−
→
−
→
−
−
3) →
r (t) = 2t i + t2 j + ln t k , t = 2
−
−
18. Si →
r (t) = (cos(πe−t ), sen(πe−t ), πt), hallar el a´ngulo entre la aceleraci´on →
a y la veloci→
−
dad v cuando t = 0.
19. Dada la aceleraci´on de una part´ıcula hallar el...