Guia 6 Derivadas

Gu´ıa de Derivadas.
1. Utilizando propiedades y reglas de derivaci´on, obtenga f 0 (x)
sin x
x2
⇡
h) f (x) = + ln 2
x
p
1+ x
p
i ) f (x) =
1
x

a) f (x) = 2ex + ln x
sin x + cos x
b) f (x) =
sin xcos x
c) f (x) = 3 cos x + 2 sin x
p
1
d ) f (x) = x p
x
x
e · cos x
e) f (x) =
1 sin x
x+1
f ) f (x) =
x 1

g) f (x) =

j ) f (x) = x3 ln x
k ) f (x) =

x3
3

x3 ex + 1
x ln x + 1

2. Derivaci´on deFunciones Compuestas. Regla de la cadena.
a) y = (x2 + 2x + 2)e x
r
1 + sin x
b) y = ln
1 sin x
3x2
c) y = e · x
d ) y = (2x 1)2 6 sin(5x)
e) y = 2 ln(cos(2x))
q
p
f) y = 1
(2x + 1)
g) y =

h) y = sin2(2x) + cos2 (2x)
ln(sin(x2 + 1))
x
= |3x 5|
xx
= x (xlnx x 1)
e
= x x · 2x · x 2
p
x2 x + 1
p
=
(x 1)3 5 5x 1

i) y =
j) y
k) y
l) y

x2 · ln(4x)
e2x

m) y

3. Hallar la derivada yx de las siguientesfunciones implicitas:
a) x3 + y 3
b)

xy

yx

3xy = 0
=0

c) x sin y + y sin x = 0
d ) ex + ey

2xy

1=0

4. Demuestre que
a) y = xe

x2
2

, satisface la ecuaci´
on xy 0

(1

x2 )y = 0.

b) y = x sinx, satisface la ecuaci´
on x2 y 00

2xy 0 + (x2 + 2)y = 0.

c) y = xex , satisface la ecuaci´
on xy 0 = y

xy

d ) y = ex , satisface la ecuaci´
on y 00 + xy 0

y = xex
1

5. Hallar f 0

⇡
2

, si f(x) = sin2 (x cos x).
s
1 + sin(x)
0
00
6. Dada la funci´
on f (x) =
. Hallar: f ( ⇡6 ), f ( ⇡6 ), f ( ⇡6 )
1 sin(x)
p
p !
x2 + 2x + 3
3
0
7. Si f (x) = 2 arctan
. Demuestre que :f (x) =
x
8.Demuestre que y =

p

x2

1
+ 2x + 3

x2 ex
, satisface la ecuaci´on
2
d2 y
dx2

2

dy
+ y = ex
dx

2x3 x2
9. Sea f (x) =
+
x 1. Hallar los puntos de la gr¨ı¿ 12 fica de f en que la pendiente de la recta
32
tangente en ese punto sea igual a
10. Sea f (x) = x2 + ax + b. Hallar los valores de a y b tales que la recta y = 2x sea tangente a la
gr¨ı¿ 12 fica de f en el punto de coordenadas (2, 4).
1
1
11.Calcular
p el ¨ı¿ 2 rea del tri¨ı¿ 2 ngulo formado por el eje OY , la tangente y la normal a la curva
y = 9 x en el punto de coordenadas (5, 2).

12. Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la...