Guia Analitica Circunferencia FMM 134 2008

Universidad Andr´
es Bello
Departamento de Matem´
aticas
Facultad de Cs. de la Salud
FMM 134 - C´
alculo Aplicado
Tecnolog´ıa M´
edica

GUIA CIRCUNFERENCIA

1. En los siguientes casos decida si la ecuaci´on representa una circunferencia. En caso afirmativo determine su centro y su radio.
(a) 2x2 + 2y 2 − 6x + 10y + 7 = 0.
(b) 4x2 + 4y 2 + 28x − 8y + 53 = 0.
(c) 16x2 + 16y 2 − 64x + 8y + 177 = 0.2. Hallar la longitud y el ´area delimitada por la circunferencia de ecuaci´on 9x2 +9y 2 +72x−12y +103 = 0.
3. Demostrar que las circunferencias 4x2 + 4y 2 − 16x + 12y + 13 = 0 y 12x2 + 12y 2 − 48x + 36y + 55 = 0
son conc´entricas.
4. Demostrar que las circunferencias x2 + y 2 + 4x + 6y − 23 = 0 y x2 + y 2 − 8x − 10y + 25 = 0 son
tangentes.
5. Demostrar de dos formas diferentes que lascircunferencias x2 + y 2 + 2x − 8y + 13 = 0 y 4x2 + 4y 2 −
40x + 8y + 79 = 0 no se cortan.
6. En los casos siguientes encuentre la circunferencia que pasa por los tres puntos dados. Resuelva primero
usando las mediatrices del tri´angulo, y luego planteando el sistema que deben verificar los coeficientes
de la ecuaci´on general.
(a) (0, 0), (3, 6), (7, 0).
(b) (2, −2), (−1, 4), (4, 6).
(c) (4, −1), (0, −7),(−2, −3).
7. Las ecuaciones de dos circunferencias son x2 + y 2 + D1 d + E1 y + F1 = 0 y x2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 = 0.
Hallar la condici´on que deben cumplir para ser conc´entricas.
8. Encuentre la ecuaci´on de la circunferencia tangente a la recta 5x − 12y = 1 y que es conc´entrica con
la circunferencia de ecuaci´on 4x2 + 4y 2 − 16x + 20y + 25 = 0.
9. Hallar la ecuaci´on de la tangente a lacircunferencia x2 + y 2 + 2x − 2y − 39 = 0 en el punto (4, 5).
10. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (11, 4) y es tangente a la circunferencia x2 + y 2 −
8x − 6y = 0.
11. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos (−1, −4), (2, −1) y cuyo centro est´
a
sobre la recta 4x + 7y + 5 = 0.
12. Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x − 4y − 1 = 0 en elpunto (3, 2). Halle su
ecuaci´on.
√
13. Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia x2 + y 2 − 4x + 2y − 47 = 0 en el punto
(6, 5). Hallar su ecuaci´on.

14. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por el punto (1, 4) y es tangente a la circunferencia
x2 + y 2 + 6x + 2y + 5 = 0 en el punto (−2, 1).
15. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por el punto(5, 9) y es tangente a la recta x+2y−3 = 0
en el punto (1, 1).
16. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0, 2) y (7, 3). Encuentre su ecuaci´on.
17. Dibujar las dos circunferencias cuyas ecuaciones son C1 : x2 + y 2 + 4x − 8y + 7 = 0 y C2 : x2 + y 2 −
16x − 4y + 3 = 0. Dibujar algunos elementos de la familia C1 + kC2 . Demostrar que sus centros est´
an
sobre la recta que une los centrosde C1 y C2 .
18. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por el punto (−8, 5) y por la intersecci´on de las
circunferencias x2 + y 2 − 8x − 6y + 17 = 0 y x2 + y 2 − 18x − 4y + 67 = 0.
19. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que tiene su centro sobre la recta 2x + y − 14 = 0 y pasa por
la intersecci´on de las circunferencias x2 + y 2 − 8x − 4y + 11 = 0 y x2 + y 2 − 4x + 4y − 8 = 0.√
20. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia de radio 52 2 y que pasa por las intersecciones de las circunferencias x2 + y 2 + 2x − 6y − 16 = 0 y x2 + y 2 − 6x + 2y = 0.
21. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por las intersecciones de las circunferencias x2 + y 2 −
6x + 4 = 0 y x2 + y 2 − 2 = 0 y que es tangente a la recta x + 3y − 14 = 0.
22. Demostrar que las circunferencias C1 :x2 + y 2 − 3x − 6y + 10 = 0 y C2 : x2 + y 2 − 5 = 0 son tangentes.
(a) Hallar la circunferencia tangente a C1 y a C2 en su punto com´
un, y que pasa por el punto (7, 2).
Demostrar que el centro de esta circunferencia esta en la recta de los centros de C1 y C2 .
(b) Hallar la ecuaci´on de la circunferencia tangente a C1 y a C2 en su punto com´
un y cuyo centro est´
a
sobre la recta 3x + y + 5...