Guia coordinaci n 1

´cnica
Universidad Te
Federico Santa Mar´ıa
´ tica
Departamento de Matema

Matem´
atica III
Gu´ıa No 1
Primer Semestre 2015

Transformaciones Lineales
Problemas Propuestos
1. Sea T : R2 [x] −→ R3 una transformaci´
on lineal definida por
T (ax2 + bx + c) = (a + b, a + c, b − c)
(a) Demuestre que T es lineal.
(b) Determine una base para Ker(T ) y una base para Im(T ).
(c) Determine la matrizasociada a T respecto a las bases can´onicas.
2. Sea T : R4 → R4 definida por
T (a, b, c, d) = (a, a + b, a + b + c, a + b + c + d)
Considere
B1 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
y
B2 = {(1, 1, 1, 1), (0, 2, 2, 2), (0, 0, 3, 3), (0, 0, 0, 4)}
−1 B1
2
]B2 en caso de que exista la inversa.
dos bases de R4 . Encuentre [T ]B
B1 y [T

3. Sea C la base can´
onica de R3 . Sean T, L :R3 → R3 transformaciones lineales tales que T (1, 1, 1) = (1, −3, 3),
T (1, 1, 0) = (2, −3, 2), T (1, 0, 0) = (−1, −1, 2) y


−2 −3 −2
C
1
1 
[L]C =  1
4
6
5
(a) Determine T expl´ıcitamente.
C

(b) Determine [T ◦ L]C
(c) ¿Qu´e relaci´
on existe entre T y L?
(d) Determinar Ker(T ) e Im(L).
4. Sea A : R2 [x] → R2 [x] una aplicaci´
on lineal definida por:
A(p(x)) = p(x) −

p(x) − p(0)
.
x

(a)Calcule la matriz de esta aplicaci´
on lineal , desde la base V = {1, 1 + x, 1 + x + x2 } a la base W =
{1, 1 − x, 1 + 2x + x2 }.
(b) Calcule la matriz de la aplicaci´
on A, desde la base W a la base V .
5. Sean B =

1
−4

−1
4

y T : M2×2 → M2×2 tal que T (A) = BA. Determine dim Im(T ). Obtenga T ◦ T .

6. Sea T : R3 → R3 la transformaci´
on lineal definida por
T (x, y, z) = (x + z, y + 3z, x + y +αz)
con α ∈ R:
(a) Determine el valor de la constante α para que dim Ker(T ) = 1 y en este caso Calcule Ker(T ).
(b) Para el valor anterior de α calcule Im(T ).

P´agina 1 de 3

7. Considere la aplicaci´
on T : R2 [x] → R3 [x] definida por
1
T (p(x)) = p(x − 1) + kp (1) x3 − p (1) x2
2
Determine ker(T ) para k ∈ R.
8. Considere las aplicaciones T, S : R2 → R2 definidas por
T (x, y) = (y − x, x +y)

S(x, y) = (xy, x − xy)

y

(a) Determine si son transformaciones lineales.
(b) Sea D ⊂ R2 un tri´
angulo de v´ertices (0, 0), (2, 0) y (0, 2). Dibuje T (D). ( Es decir, la imagen del tri´
angulo
D por la transformaci´
on T .)
(c) Sea R la regi´
on del plano limitada por las siguientes curvas:
xy = 1,

xy = 3,

x − xy = 1,

x − xy = 3.

Dibuje S(R).
9. Sea T : V → W una transformaci´
on lineal,B = {v1 , v2 , v3 } base de V y C = {w1 , w2 , w3 , w4 } base de W . Si
se cumple que
T (v1 − v3 ) = w1 + w2 ,

T (v1 − v2 − v3 ) = w1 + w3 ,

T (v1 − v2 − 2v3 ) = w1 + w4

¿T es inyectiva?, ¿ T es epiyectiva?. Justifique.
10. Sea T : R3 [x] → M2×2 (R) tal que
T (1) =

2
−1

−3
,
−3

T (x + 3) =

0
1

1
,
1

T (x2 ) =

1
1

0
0

y

T (x3 − x) =

(a) Encontrar bases para Im(T ) y ker(T ).
(b) ¿Esla aplicaci´
on T inyectiva?
11. Sean U y V los subespacios vectoriales de R3 y R4 generados, respectivamente, por:
B = (−1, 2, 1); (1, 0, −1)
y:

D = (1, 0, 1, 0); (1, 1, 0, 0)

Considere la transformaci´
on lineal T : U → V tal que:
T

D
B

=

−1
2

2
−4

Calcule el n´
ucleo y la imagen de T .

Problemas Resueltos
1. Sean B =

0
1

1
0

y T : M2×2 → M2×2 tal que T (A) = BA − AB.

i) ¿Es T unatransformaci´
on lineal?
ii) Si (i) es verdadero. ¿Cu´
al es la dimensi´on de Im(T )?
Soluci´
on.
i) Sean α, β ∈ R y A, C ∈ M2×2 (R), entonces basta probar que
T (αA + βC)

= B(αA + βC) − (αA + βC)B
= αBA + βBC − αAB − βCB
= α(BA − AB) + β(BC − CB) = αT (A) + βT (C),

y luego la transformaci´
on es lineal.

P´agina 2 de 3

1
0

0
0

ii) Usamos el teorema de la dimensi´
on y primero determinamosker(T ). Es decir, buscamos las matrices
A ∈ M2×2 tales que T (A) = 0M2×2 o bien, dada la definici´on, las matrices que conmutan con B. Sea
a b
A=
, entonces
c d
a
c

b
d

AB
0 1
1 0

= BA
0 1
=
1 0

b
d

=

a
c

c
a

a
c

b
d

d
,
b

que son iguales si a = d, b = c. Por lo tanto
1
0

ker(T ) =

0
0
,
1
1

1
0

,

que tiene dimensi´
on 2. Por el teorema de la dimensi´on sigue que dimR Im(T ) = 2....