Guia De Aprendizaje Algebra Lineal

GUIA DE APRENDIZAJE N° 1

ALGEBRA LINEAL / CURSO 1BN
NOMBRE:
CODIGO:
OBJETIVO GENERAL:
Conocer, aplicar e identificar el concepto de determinantes
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
* Exponer el concepto de determinantes.
* Realizar ejemplos para que el concepto de determinantes sea mucho más entendible para el lector.
* Formular casos y solucionarlos sobre el tema para facilitar lo mayorposible.
DETERMINANTES
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por de(A) o también por (las barras no significan valor absoluto).
Para aclarar cualquier duda y que este tema vamos a dar una explicación más matemática.

JohannaAcuña B. Facultad de Ingeniera Industrial
Sean A= A11 A12 una matriz
A21 A22
Cuadrada o de iguales dimensiones (2x2) se define la determinante de A como: A11 A12 A21 A22. También la determinante de A se denota como A .
Para calcular el valor de un determinante de orden 3 × 3.
La forma nemotécnica de esta regla es la siguiente: productospositivos (diagonales hacia la derecha) - productos negativos (diagonales hacia la izquierda).
Ejemplo:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11a22a33+a21a32a13+ a12a23a31 –
− a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.
(Lo que baja menos lo que sube).
Para resolver una matriz de este tipo es importante aumentarla, es decir se colocan dentro de esta misma matriz las dos primeras filaspara poderla resolver y obtener cada uno de sus índices.
Propiedades de las determinantes:
Las siguientes propiedades sirven para evaluar con mayor facilidad loas determinantes de orden tres o de orden superior.
* Si se multiplica por una constante K cada elemento o columna (renglón) el nuevo determinante será K veces el original.
2 | -1 | 2 |
1 | 2 | 3 |
1 |3 | 2 |
2 | -1 | 2 |
1 | 2 | 3 |

8 | + | 6 | - | 3 | = | 11 |
4 | + | 18 | - | 2 | = | 20 |
  | = | -9 |   | |   |   |
= | -32 |

* Si todos los elementos de un renglón o columna son nulos, el valor de la determinante es o.
1 | 2 | 3 |
0 | 0 | 0 |
1 | 3 | 2 |
= | 0 |

* Si se intercambian dos renglones o columnas deuna determinante el nuevo determinante cambia de signo.
-2 | + | 18 | + | 4 | = | 20 |
-3 | + | 6 | + | 8 | = | 11 |

= | 9 |

* Si dos renglones o columnas son iguales o múltiplos el valor del determinante es cero.
1 | 2 | 3 |
2 | 1 | 4 |
1 | 2 | 3 |
1 | 2 | 3 |
2 | 1 | 4 |
3 | + | 8 | + | 4 | = | 19 |
3 | + | 8 | + | 12 | = | 19 |

= | 0 |

* el determinante deuna matriz triangular es igual al producto de sus componentes diagonales.
4 | -2 | 4 |
0 | 2 | 3 |
0 | 0 | -4 |
4 | -2 | 4 |
0 | 2 | 3 |

NOTA: Es importante tener en cuenta estas propiedades que son tan fundamentales para el desarrollo de cualquier clase de ejercicio.

Todas las propiedades de cualquier tema son importantes y de un a u otra forma ayudan a la comprensión delejercicio, pero lo más importante allí es realizar los ejercicios que creamos necesarios, pues las matemáticas son una ciencia netamente practica.
CALCULO DE LA  INVERSA DE UNA MATIZ CUADRADA

Una de las aplicaciones más importantes de los determinantes es que nos da un criterio para decidir cuándo una matriz posee inversa. 

Teorema. Una matriz cuadrada A es inversible   A 0. Además su inversaes:

 A-1  =.

* Demostración.

Es consecuencia inmediata de las proposiciones 1 y 2. (Comprobarlo)

*Este teorema nos da un método  para calcular la inversa:

1) Se calcula det A.
Si da 0: A no tiene inversa.
Si da distinto de 0:

2) Se calcula la matriz adjunta de A, adj A,  es decir, la que tiene por elementos a los adjuntos de A:
 (adj A)= 
3) Se traspone la matriz...