Guia_derivadas_FMM_029

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
GUÍA DE EJERCICIOS: DERIVADAS

1.-

Usando la definición de derivada calcule las siguientes derivadas:
a) f ( x) =

2.-

2x + 1

b) f ( x) = x 2 + 3x + 5

c) f ( x) =

Obtenga f ' ( x ) para las siguientes funciones:

x+ x
x − 23 x
f ( x) = 3 cos x + 2 sen x
sen x + cos x
f ( x) =
sen x − cos x
16
f ( x) = 1 − 3 x 2 +
x
2
(1 − x )
f ( x) =
x
ex ⋅ cos x
f ( x) =
1 − sen x
f ( x) = 2e x + ln x

a) f ( x) =
b)
c)
d)
e)
f)
g)

Resp.: − 3 sen x + 2 cos x

Resp: − 23 x
Resp.:

−1

− 16
x2

3

2 x + x x − 2 x −1
x2

Resp.: 2e x +

1
x

h) f ( x) = e x (cos x + sen x )

e x + sen x
xe x
1
j) f ( x) = x −
x
x +1
k) f ( x) =
x −1
l) f ( x) = x ⋅ x 2 + 1
i) f ( x) =

Resp.:

1
2 x

Resp.: −
Resp.:

+

1
3

2x 2

2
( x −1) 2
3 x 2 +1

2 x ⋅ x 2+1

5

m) f ( x) = (t 2 − 1) ⋅ ( x 3 + 5 ) 2
n) f ( x) = x 2 ⋅ ( x − 1)12 ⋅ ( x + 2)3

2
3
2
7
sen 2 x − sen 2 x
3
7
2
p) f ( x) = 2 cos ec ( x )
o) f ( x) =

Resp.: (sen x )2 ⋅ cos x
1

1
x−2

3.-

 dy 
:
 dx 

Derivar implícitamente las expresiones que se indican 
a) y x − x y = 16

4.-

Resp.:

2

y

y sen x + sen y
cos x − x cos y

Resp.:

c) y 2 = ( x − y )( x 2 + y 2 )

Resp.:

d) cos(x + y ) = x

Resp.: − 1 − sen( 1x + y )

e) sen( x + z ) = e − x ⋅ ln y

Resp.:

f) sen x + cos 2 y = −2

Resp:

3 x 2 + y 2 − 2 xy
2 y + x2 +3 y 2

[cos( x + z ) + e
e− x

−x

]

ln y ⋅ y

cos x
2 sen 2 y

Demostrar que la función dada satisface la ecuación respectiva:
2

b)
c)
d)
e)

− x2

y = xe
y = xe − x
y = xsenx
y = ex
y = senx + 2 cos x

xy' = ( 1 − x 2 ) y
xy' = ( 1 − x ) y
x 2 y' ' −2xy' +( x 2 + 2 ) y = 0
y' ' + xy' − y = xe x
y' ' ' + y' ' + y' + y = 0

 dy 
 para las funciones dadas en forma paramétrica.
 dx 
t
a) x = a (t − sen t ); y = a (1 − cos t )
Resp.: 1−sen
cos t
Obtenga 

b)

x = e 2t ; y = e −2t

Resp.: − e −4 t

c)

x = t 3 + 3t + 1; y = t 3 − 3t + 1

Resp.:

3t 2 − 3
3t 2 + 3

d)

x = et cos t ; y = et sen t

Resp,:

sen t + cos t
cos t − sen t

6.-Demuestre que y =

7.-

Sea f ( x) =

x 2e x
d2y
dy
satisface la ecuación diferencial
− 2 + y = ex .
2
2
dx
dx

2 3 1 2
x + x − x − 1 . Hallar los puntos de la gráfica de f en que la pendiente de
3
2

la recta tangente en ese punto sea igual a:
Resp: a) x = 12 ∨ x = −1
8.-

x−

y
2 x
x

b) x sen y = y cos x

a)

5.-

y−

a) 0
b) –1
b) x = 0 ∨ x = − 12

c) 5.
c) x =

3
2

∨ x = −2

Sea f ( x) = x 2 + ax +b . Hallar los valores de a y b tales que la recta y = 2 x sea tangente
a la gráfica de f en el punto ( 2, 4 ).
Resp: a = −2; b = 4

9.-

Hallar los valores de las constantes a, b y c para los cuales las gráficas de los dos
polinomios f ( x) = x 3 − c y g ( x ) = x 2 + ax + b se corten en el punto ( 1, 2 ) y tengan la
misma tangente.
Resp.: a = −1; b = 2; c = −1

10.-

Demostrar que la recta

y= − x es tangente a la curva dada por la ecuación

y = x − 6 x + 8 x . Hallar los puntos de tangencia.
3

2

P( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
P(0) = P(1) = −2 ; P ' (0) = −1 ; P' ' (0) = 10 . Calcular a, b, c y d.

11.-

Existe

un

polinomio

12.-

Mediante derivación implícita, demuestre que si x 3 + y 3 = a 3 entonces y ' = −3

13.-

Si x = e − t ⋅ sen t ; y = et ⋅ cos t . Encuentre

14.-

¿En quépunto de la curva y = x x la tangente es paralela a la recta 3x − y + 6 = 0 ?.
Resp: x = 0 ∨ x = 4

15.-

¿Para qué valores de x la gráfica de f ( x) = 2 x 3 − 3x 2 − 6 x + 87 tiene una tangente
horizontal?.
Resp: x = 1.61 ∨ x = −0.61

16.-

¿En qué punto de la curva y = x 4 la recta normal tiene la pendiente 16?. Resp: x = − 14

2

2

tal

2

dy
.
dx

que:

y
x

Resp: e 2t

17.- Si el costo demanufacturar x artículos es C(x) = x 3 + 20 x 2 + 90 x + 15 , halle la función de
costo marginal y compare el costo marginal en x = 50 con el costo real de manufacturar el artículo
número 50.
Resp.: C ' ( 50 ) = 9590 ; C (50) − C (49) = 9421
18.- Si el costo de producir “q” unidades de un artículo está dado por C ( q ) = q − 50 q + 800 ,
determine el costo marginal para un nivel de producción de...