Guia Derivadas FMM 060 2011 01

Universidad Andr´
es Bello
Departamento de Matem´
aticas

GUIA DERIVADAS

1. Usando la definici´on de derivada calcule las siguientes derivadas dadas las funciones:
(a) f (x) =

p

(b) f (x) =

x2

2x + 1

+ 3x + 5
p
(c) f (x) = 2 x

2. Utilizando propiedades y reglas de derivaci´on, obtenga f 0 (x)
(a) f (x) = 2ex + ln x
sin x + cos x
(b) f (x) =
sin x cos x
(c) f (x) = 3 cos x + 2 sin x
p
1
(d)f (x) = x p
x
x
e · cos x
(e) f (x) =
1 sin x
x+1
(f) f (x) =
x 1
sin x
(g) f (x) = 2
x
3. Utilizando regla de la cadena, encuentre y 0 a partir de
2

(a) y = e3x · x

(b) y = (2x 1)2 6 sin(5x)
⇣p
⌘5
2
(c) y =
x3 + 5
(d) y = 2 ln(cos(2x))
q
p
(e) y = 1
(2x + 1)

x2 · ln(4x)
e2x
2
(g) y = sin (2x) + cos2 (2x)
(f) y =

(h) y =

ln(sin(x2 + 1))
x

4. Demuestre que
(a) y = xe

x2
2

, satisface laecuaci´on xy 0

(1

x2 )y = 0.

(b) y = x sin x, satisface la ecuaci´on x2 y 00

2xy 0 + (x2 + 2)y = 0.

(c) y = xex , satisface la ecuaci´on xy 0 = y

xy

(d) y = ex , satisface la ecuaci´on y 00 + xy 0

y = xex

5. Hallar f 0

⇡
2

, si f (x) = sin2 (x

6. Demuestre que y =

cos x).

x2 ex
, satisface la ecuaci´on
2
d2 y
dx2

2

dy
+ y = ex
dx

2x3
x2
7. Sea f (x) =
+
x 1. Hallar los puntos de lagr´afica de f en que la pendiente de la recta
3
2
tangente en ese punto sea igual a
(a) 0. Sol: x =

1
2

´o x =

(b) -1. Sol: x = 0 ´o x =
(c) 5. Sol: x =

3
2

´o x =

1.
1
2.

2.

8. Sea f (x) = x2 + ax + b. Hallar los valores de a y b tales que la recta y = 2x sea tangente a la gr´
afica
de f en el punto de coordenadas (2, 4).
p
9. Calcular el ´area del tri´angulo formado por el eje OY , latangente y la normal a la curva y = 9 x
en el punto de coordenadas (5, 2).
10. Calentamiento de un plato. Cuando un plato circular de metal se calienta en un horno, su radio
aumenta a raz´on de 0,01 cm/min. ¿Cu´al es la raz´on de cambio del ´area cuando el radio mide 50 cm?
Sol: ⇡cm2 /min
11. Cambio de dimensiones en un rect´angulo. El lado ”l” de un rect´angulo disminuye a raz´on de 2 cm/s,mientras que el ancho ”w” aumenta a raz´on de 2 cm/s. Cuando l = 12 cm y w = 5 cm , hallar las
razones de cambio de:
(a) El ´area. Sol: 14

cm2
s .

(b) El per´ımetro. Sol: 0.
(c) La diagonal.Sol:

14 cm
13 seg

12. Una escalera de 4 metros se apoya contra una casa y su base comienza a resbalar. Cuando la base
est´a a 3,7 metros de la casa, la base se aleja a raz´on de 1,5 m/s.
(a) ¿Cu´al es la raz´onde cambio del ´area del tri´angulo formado. Por la escalera, la pared y el suelo
en ese instante?
(b) ¿Cu´al es la raz´on de cambio del ´angulo ✓ entre la escalera y el suelo en ese instante?
Sol: a) Disminuye a raz´on de 5.61 m2 /s b) 0.986 rad/s

13. Un bloque de hielo c´
ubico se funde de modo que su arista disminuye con regularidad 2 cm/hr, ¿a qu´e
raz´on disminuye su volumen cuando su aristamide 10 cm?
3

Sol: 600cm
hra

14. Se introduce una poblaci´
on de 500
umero de acuerdo con la
✓
◆ bacterias en un cultivo, creciendo en n´
4t
funci´on P (t) = 500 1 +
donde t se mide en horas. Hallar a que ritmo est´a creciendo la
50 + t2
poblaci´on cuando han pasado 120 minutos.
Sol:

31.55bacterias
hra

15. Un punto se desplaza sobre la curva y = x3 de forma que su ordenada var´ıa en funci´ondel tiempo t
seg´
un la ley y = at3 . Hallar la velocidad de variaci´on de la abscisa en funci´on del tiempo.
1

Sol:a 3
16. Demuestre que si f (x) = ln

✓

1+x
1 x

◆

y g(x) = f

✓

◆
a+x
, entonces f 0 (x) = g 0 (x).
1 + ax

17. La Ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a temperatura constante, la
presi´on P y el volumen V satisfacen la ecuaci´on P V = c , donde c esuna constante. En determinado
instante el volumen del gas es 600 cm3 , la presi´on es 150 KPa y crece a una raz´on de 20 KPa/ min.¿
Con qu´e velocidad disminuye el volumen en este momento?.
Sol: Disminuye a raz´on de 80

cm3
min

20
(t + 1)2
miles de personas. Un estudio
ambiental revela que el nivel medio diario de mon´oxido de carbono
p
2
en el aire ser´a c(p) = 0.8 p + p + 139unidades cuando la...