Guia Extra Algebra

PRODUCTOS NOTABLES
Los productos notables son multiplicaciones entre expresiones algebraicas, cuyo resultado puede encontrarse mediante una simple inspección. Una vez identificado el tipo de producto notable, es simple aplicar la regla correspondiente.
REGLA: Es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo; estaregla general se expresa con la fórmula:
Cuadrado de un binomio

(a + b)² = a² + 2ab + b²

A la expresión resultante se le conoce como trinomio cuadrado perfecto. Es el resultado de (a + b)², que se obtiene mediante un cuadrado de lado (a + b); al que conforman dos cuadrados de área “a²” y “b²”, así como dos rectángulos de área “ab”, por tanto, el desarrollo de la expresión (a + b)² es:EJEMPLOS:
* Desarrolla (x + 7)².
Solución
Al aplicar la regla general:
– El cuadrado del primer término: (x)² = X²
– El doble producto del primer término por el segundo: 2(x)(7) = 14x
– El cuadrado del segundo término: (7)2 = 49
Se suman los términos resultantes y se obtiene:

(x + 7)² = X² + 14x + 49
* Desarrolla(3m + 5n)²
Solución

Se aplica la fórmula con 3m como primer término y 5n como segundo término
(3m + 5n)² = (3m)² + 2(3m)(5n) + (5n)²
= 9m² + 30mn + 25n²
Por tanto, el resultado es: 9m² + 30mn + 25n²
El desarrollo del cuadrado de una diferencia de dos cantidades, es igual a:(a – b)² = a² – 2ab + b²
En este desarrollo los términos se sustituyen con signo positivo.
EJEMPLOS:
* ¿Cuál es el resultado de desarrollar (4x⁴ − 9y3)²?
Solución
Se aplica la fórmula anterior y se obtiene:
(4x⁴ − 9yᶟ)² = (4x⁴)² − 2(4x⁴) (9yᶟ) + (9yᶟ)²= 16x⁸ − 72x⁴yᶟ + 81y⁶
EJERCICIOS:
Desarrolla las siguientes expresiones:
1. (x + 8)²
2. (m − 10)²
3. (x − 12)²
4. ( y + 9)²
5. (4xᶟ + 5y)²

Cuadrado de un trinomio

REGLA: El desarrollo de la expresión: (a + b + c)² es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más los dobles productos de las combinaciones entre ellos:(a + b + c)² = a²+ b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Demostración
La expresión (a + b + c)² es equivalente al producto (a + b + c) (a + b + c), entonces:

(a + b + c)² = (a + b + c)(a + b + c) = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c²
Al simplificar los términos semejantes:(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
EJEMPLOS:
* Desarrolla (x + 2y + 3z)².
Solución
Se aplica la fórmula y se obtiene como resultado:
(x + 2y + 3z)² = (x)²+ (2y)² + (3z)²+ 2(x) (2y) + 2(x) (3z) + 2(2y) (3z)
= x² + 4y² + 9z² + 4xy + 6xz + 12yz
EJERCICIOS:
Desarrolla las siguientes expresiones:
1.(x + 2y + 3z)²
2. ( a+ 6b – 5c )²
3. (3x² + 2y² − 1)²
4. (a² + 3a − 2)²
5. (x² − 2x + 1)²
REGLA: Son de la forma (a + b) (a − b) y su resultado es la diferencia de los cuadrados de ambas cantidades, como se ilustra en la fórmula:
Binomios conjugados

(a + b)(a – b) = a² – b²
Demostración
Se realiza el producto y se obtiene:(a + b) (a − b) = a2 − ab + ab − b2 = a2 − b2
EJEMPLOS:
* Desarrolla (x + 6) (x − 6).
Solución
Ambos términos se elevan al cuadrado:
– El cuadrado del término que no cambia de signo: (x)² = x²
– El cuadrado del término que cambia de signo: (6)² = 36
Finalmente, se realiza la diferencia y el resultado es: x² − 36
*...