Guia Logica

Apuntes de Lógica
Profesor: Haroldo Cornejo Olivari
1.1

INTRODUCCION

La matemática estudia las propiedades de ciertos objetos, tales como números, operaciones, conjuntos, etc.
Es necesario por lo tanto contar con un lenguaje apropiado para expresar estas
propiedades de manera precisa. Desarrollaremos aquí un lenguaje que cumpla estos
requisitos, al cuál llamaremos lenguaje matemático.Aunque algunas de estas propiedades son evidentes, la mayoría de ellas no lo son y
necesitan de una cierta argumentación que permita establecer su validez. Es
fundamental por lo tanto conocer las principales leyes de la lógica que regulan la
corrección de estos argumentos. Desarrollaremos aquí los conceptos de verdad,
equivalencia y consecuencia lógica y algunas de sus aplicaciones alrazonamiento
matemático.
1.2

LENGUAJE MATEMATICO

El lenguaje matemático está formado por una parte del lenguaje natural, al cuál se le
agregan variables y símbolos lógicos que permiten una interpretación precisa de cada
frase.

1.21

Proposiciones.

Llamaremos proposiciones a aquellas frases del lenguaje natural sobre las cuales podamos afirmar que son verdaderas o falsas.
Ejemplos deproposiciones son:
"Dos es par".
"Tres es mayor que siete".
"Tres más cuatro es nueve
"Si dos es mayor que cinco entonces dos es par".
"Dos no es par"
En cambio las siguientes frases no son proposiciones:
"¿Es dos número par?".
"Dos más tres".
"¡Súmale cinco!".
Se acostumbra habitualmente usar las letras p, q, r, s..... etc. para designar
proposiciones.

1

Una proposición es simple,si ninguna parte de ella es a su vez una proposición.
Ejemplos de proposiciones simples:
“Dos es un número par".
"Tres es mayor que cuatro".
"Tres más cinco es mayor que cuatro".
Se usan letras minúsculas p, q, r, s,...etc., para denotar proposiciones simples.
La propiedad fundamental de una proposición, es que ella puede ser verdadera o falsa,
pero no ambas cosas a la vez.
El valor deverdad de una proposición simple depende exclusivamente si el enunciado
de la proposición, es Verdadero o Falso.
Por ejemplo, las proposiciones:
“Dos es un número par".
"Tres es mayor que cuatro".
"Tres más cinco es mayor que cuatro".

Es verdadero.
Es Falso.
Es Verdadero.

Algunos enunciados o proposiciones son compuestos, es decir, están formados de
proposiciones simples y deconectivos que los unen.
El valor de verdad de una proposición compuesta depende completamente del valor de
verdad de cada proposición simple y del modo como se les reúne o conecta para
formar la proposición compuesta.

1.2.2 Conectivos
Se mencionó que una proposición puede estar compuesta a su vez por una o varias
proposiciones simples, conectadas por una palabra o frase que se llama conectivo.Los conectivos más usados son:
(1)

Negación. Es aquel conectivo que niega la proposición, y normalmente se
utiliza anteponiendo “no”, o anteponiendo la frase es falso que.

Simbólicamente la negación se puede representar en lenguaje matemático, de tres
formas diferentes:
I.- Anteponiendo el símbolo “¬” .II.- Sobreponiéndole una barra “ ”.III.- Anteponiendo el símbolo “∼” .-

Por ejemplo “¬p” significa “no p”.
Por ejemplo “ p ” significa “no p”.
Por ejemplo “ ∼p” significa “no p”.
2

Consideremos la proposición
"dos no es par".
La proposición está compuesta por la proposición simple "dos es par" y por la palabra
"no", que forma la negación.
Si p es una proposición, ¬p denotará la proposición “no es verdad que p".
Valores de verdad de la negación:
¬p
F
V

p
V
F(2)

Conjunción. Es aquel conectivo que une dos proposiciones, incluyéndolas
obligatoriamente a ambas. Se utiliza “y” como conectivo de conjunción.

La conjunción "y" se abrevia o representa con el símbolo "∧"
Consideremos la proposición
"dos es par y tres es impar
la cual está compuesta por las proposiciones simples "dos es par y "tres es impar",
conectadas por la palabra "y", que...