Guia Ma116

VII 1 /9 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. MA1116 abril-julio de 2009

Ejercicios sugeridos para : los temas de las clases del 16 y 18 de junio de 2009. Temas : Bases ortonormales y proyecciones en Rn. Espacios con producto interno. Complemento ortogonal. Algoritmo de Gram-Schmidt. Secciones 4.9, 4.11, del texto. Observación importante: es muy importanteque Usted resuelva también muchos ejercicios del texto. E1a) Verifique que los dos vectores u=( 2 ,2 , 1 ) , v = ( 1 , - 2 , 2 ) forman una base 3 3 3 3 3 3

ortonormal para el subespacio H, de R3, definido por: H={(x, y, z)∈ R32x-y-2z = 0 } ; E1b) halle w = proyH(m) , siendo m= (1, 3, -2) ; E1c) verifique que el vector m-w = m - proyH(m) es ortogonal a los dos vectores u, v ; E1d) diga si escierto o falso que m-w también es ortogonal a todo vector de H ; E1e) exprese el vector h= (1, 0, 1) ( ∈H ) como combinación lineal de los vectores u, v. E2. Sea W subespacio de R4 , sea {u1, u2, u3} una base ortonormal de W y sean a un genérico vector de R4, b un genérico vector de W; E2a. Escriba la fórmula que expresa la proyección, proyW(a) , del vector a sobre W; E2b. Escriba la fórmula queexpresa el vector b como combinación lineal de los vectores u1, u2, u3 . E3. Sea {v1, v2, v3, v4} una base para cierto subespacio vectorial de R5 y sean u1, u2, u3 los primeros tres vectores de una base ortonormal de W, obtenidos aplicando el algoritmo de Gram-Schmidt a los vectores v1, v2, v3; explique con detalle, como se construye, a partir de v4 , un vector v4' perpendicular a los vectores u1,u2, u3 y como luego se halla el cuarto vector, u4 , para completar la base ortonormal de W. E4.- Use el algoritmo de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal de R3 a partir de la base : v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1) . E5.- Use el algoritmo de Gram-Schmidt para completar {u=( 2 ,2 , 1 ) , v = ( 1 , - 2 , 2 ) } a 3 3 3 3 3 3 una base ortonormal de R3 . E6.- Sea H = gen{(2, 3, 0,6), (6, 2, 0-3)} ⊆ R4 ;

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E6a) Demuestre que el subconjunto, H⊥ , de R4 , formado por todos los vectores de R4 que son ortogonales a todos los vectores de H, es un subespacio vectorial de R4 [este subespacio de llama el "complemento ortogonal de H" y se indica usualmente con H⊥]; E6b)Exprese el vector w=(1, 2, 1, 1) como suma w= h+p de un vector h∈H con un vector p∈H⊥ ; E6c) demuestre que si w= a+b , con a∈H. b∈H⊥ , entonces necesariamente a=h, b= p . E7.- Sea H el subespacio de R3 definido por H=gen{(1, 0, 1), (2, 1, 0), (1,-1, 3)} y sea w =( 3, 4, 1) ; E7a. halle una base ortonormal para H, usando el algoritmo de Gram-Schmidt ; E7b.- halle proyH(w) = w1 ; E7c. halle H⊥ (=complemento ortogonal de H ); E7d.- halle proyH⊥ (w) = w2; E7e.- verifique que w1+ w2 = w . Observación importante. En general, si w1, w2 son las proyecciones de un vector, w, sobre cierto subespacio, W, y sobre su complemento ortogonal, W⊥ , se tiene w1+ w2 = w. Como las fórmulas para hallar proyecciones no son las más sencillas que uno pueda desear, ni tampoco es sencilla la construcción de unabase ortonormal. en el caso que se busque una de las dos proyecciones (o ámbas), ya sea sobre W, ya sea sobre W⊥ , conviene hallar la proyección sobre aquel subespacio (de los dos W, W⊥ ) que tiene menor dimensión. En particular en el caso de este ejercicio, más sencillo era hallar w2= proyH⊥ (w) y luego hallar w1= w - w 2 . E8. Escriba la definición de producto interno en un espacio vectorial sobreel cuerpo de los números reales , adaptando la definición 1 de la sección 4.11 del texto [pag. 439 en la v edición y 432 en la vi edición ] al caso en que todos los números que se consideran sean reales [tome en cuenta que entonces todo número coincide con su conjugado]. E9. Recordando que en R2 y R3 , el módulo de un vector y la perpendicularidad de dos vectores se puede expresar por medio del...