GUIA METODOS NUMERICOS

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESIME UNIDAD AZCAPOTZALCO

Programación y Métodos Numéricos (guía-ejercicios)

INTERPOLACIÓN
INTERPOLACIÓN FORMULA DE NEWTON
PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS INTERPOLACIÓN
POLINÓMICA DE HERMITE: PLANTEAMIENTO Y CASO DE PRIMER ORDEN
PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS: INTEGRACIÓN NUMÉRICA
- FÓRMULAS DE TIPO INTERPOLATORIO
MÉTODO DE GAUSS – SEIDELRESOUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, METODO DE
GRADIENTE CON PASO ÓPTIMO
PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES NO LINEALES: MÉTODO DE APROXIMACIONES
SUCESIVAS
METODO DE SOBREITERACION
NEWTON – RAPHSON
PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES NO LINEALES: SISTEMAS DE ECUACIONES NO
LINEALES

Universidad Politécnica de Madrid

Ingeniería deMinas

OBJETIVOS
OBJETIVOS
1º. Conocer el problema general de interpolación polinomial
2º. Calcular polinomios interpoladores de Lagrange a través de la
resolución de un sistema de ecuaciones
3º. Conocer y definir los polinomios de base de Lagrange del
espacio de polinomios de grado menor o igual que n asociados
a un soporte de (n+1) puntos distintos.
4º. Calcular polinomios interpoladoresde Lagrange utilizando los
polinomios de base de Lagrange.

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17

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Ingeniería de Minas

Ejemplo 1º
Ejemplo 1º
Determinar la RECTA que pase por los puntos
(1, 5) y (3,2)

3 ·x
Analíticamente: y = 13 2
2

Gráficamente:

Ecuación General de una recta:

y = a0+a1·x

5

Poliniomiode grado ?

h2
0 = f(x 0 ) + h.f '(x 0 ) + .f "(x 0 + θ.h)
2
0 = f(x 0 ) + H.f '(x 0 )
H=−

f(x 0 )
f '(x 0 )

(H :

h)

x * ≈ x1 = x 0 + H = x 0 −

f(x 0 )
f '(x 0 )
;

#
#

$! %
$! %

,;.
,;.

< 8
-)
/
A

&

' (' 44444
f(xi−1 )
x i = x i −1 −
f '(xi−1 )
4
α

f(x 0 )
tg(α) =
α
f’(x0) =
H

f(x 0 )
H=
f '(x 0 )

x2 x1

H

f(x0)

x0
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Ingeniería de Minas

Sistemas no lineales (1)
Sistemas no lineales (1)
Sistema
f1(x1, x2, ..., xn) = 0
f2(x1, x2, ..., xn) = 0
........

NOTACIÓN
ABREVIADA
f(x) = 0

fn(x1, x2, ..., xn) = 0

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144

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Ingeniería de Minas

Sistemas no lineales (2)Sistemas no lineales (2)
(Repaso de conceptos previos)
VECTOR GRADIENTE DE fj
fj(x1, x2, ..., xn)
EN EL PUNTO (x1,x2,...,xn)
⎧ ∂ fj
⎫
⎪ ∂x (x1, x 2 ,..., xn ) ⎪
⎪ 1
⎪
⎪ ∂ fj
⎪
(x1 , x 2 ,..., xn )⎪
⎪
∇fj (x1, x 2 ,..., xn ) = ⎨ ∂x 2
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ∂ fj
⎪
⎪ ∂x (x1 , x 2 ,..., xn )⎪
⎩ n
⎭
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Ingeniería de Minas

Método de Newton-Raphson para
Método de Newton-Raphson para
sistemas no lineales: ejemplo (1)
sistemas no lineales: ejemplo (1)

En el sistema de tuberías de la figura, los caudales de un
cierto fluido en cada rama y las presiones en cada nodo
de la red se relacionan mediante el sistema:
Q2
p1

Q

1

2
p2

p4
4

p1 – p2 = K.Q1.75
p2– p3 = K1.Q11.75

Q1

p2 – p4 = K2.Q21.75
3

p3

Q = Q1 + Q2

Para un determinado fluido se sabe que:
p1 = 75 psi
K = 2.35.e-3

p3 = 20 psi
K1 = 4.67.e-3

p4 = 15 psi
K2 = 3.72.e-2

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Método de Newton-Raphson para
Método de Newton-Raphson parasistemas no lineales: ejemplo (2)
sistemas no lineales: ejemplo (2)
75 – p2 =(2.35.e-3).Q1.75
p2 – 20 =

(4.67.e-3).Q11.75

p2 – 15 = (3.72.e-2).Q21.75

Determinar los caudales
en todas las ramas
y la presión en el nodo 2º

Q = Q1 + Q2
(2.35.e-3).(Q1 +Q2) 1.75 - 75 + p2 = 0
(4.67.e-3).Q11.75 + 20 – p2 = 0
(3.72.e-2).Q21.75 + 15 – p2 =0
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