Guia Numeros Enteros

MATEMÁTICA
GUÍA DE NÚMEROS ENTEROS
Contenidos:

a. Operatoria den los números enteros.
b. Operaciones combinadas.
c. Resolución de problemas.

Aprendizajes esperados:

a. Resolver ejercicios de operatoria con números enteros.
b. Resolver ejercicios de operatoria combinada con números enteros.
c. Resolver problemas que involucren números enteros.

NÚMEROS ENTEROS.
Los números enterosson los elementos que pertenecen al conjunto ℤ formado por los números naturales, sus opuestos y el cero.
ℤ= {… − 4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 … }
ℤ + = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8..} enteros positivos.
ℤ − = {−1, −2, −3, − 4, …} enteros negativos.
Luego: ℤ = ℤ − ∪ 0 ∪ ℤ +
Modulo o valor absoluto en ℤ: todo a ∈ ℤ se le asocia un entero no nativo llamado modulo o valor absoluto, el que se denota por, que se define como la distancia de a al cero.
Ejemplos:
a) 6= 6 b) -6= 6 c) 12= 12 d) –12= 12

OPERACIONES EN ℤ
1.- Adición en ℤ: se distinguen dos casos:
a) Adición de enteros de igual signo: se suman sus valores absolutos y se conserva el signo.
Ejemplos:
- 6 + - 4= - 10 + 7 + + 8= + 15 - 2 + - 12= - 14 + 12 + + 3= + 15

b) Adición de enteros de distinto signo: serestan valores absolutos y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto.
Ejemplo:
+ 10 + - 40 = - 30 + 12 + - 4 = 8 - 11 + + 14= 3 - 40 + + 6 = - 4
Propiedades de la adición:
a) Clausura: 𝑠𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ ℤ.
b) Conmutatividad: 𝑠𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎.
c) Asociatividad: 𝑠𝑖 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ ⇒ (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐).
d) Elemento neutro: 𝑠𝑖 𝑎 ∈ ℤ ⇒ ∃! 0 ∈ ℤ 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑎 + 0 =0 + 𝑎 = 𝑎.
e) Opuesto aditivo o inverso aditivo: 𝑠𝑖 𝑎 ∈ ℤ ⇒ ∃ − 𝑎 ∈ ℤ 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑎 + −𝑎 = −𝑎 + 𝑎 = 0.
Debido al cumplimiento de estas 5 propiedades, se dice que el conjunto de los números enteros con respecto a la adición tiene estructura algebraica de grupo abeliano o grupo conmutativo cuya notación es ℤ, + es grupo abeliano.

2.- Sustracción en ℤ: Para restar dos números enteros se debe sumar alminuendo el inverso aditivo del sustraendo.
Ejemplos:
- 3 - - 4= - 3 + + 4 = + 1 5 - - 2 = 5+ + 2 = + 7 - 9 - 4=- 9+ - 4 = - 13 6 – 7= 6 + - 7 = - 1 3.
Multiplicación en ℤ: se distinguen dos casos:
a) Multiplicación de números enteros de igual signo: el producto de dos números enteros de igual signo es un entero positivo, cuyo valor absoluto es igual al producto de los valores absolutosde los factores.
Ejemplo:

+ 6 · + 4 = + 24 - 9 · - 4 = + 36

b) Multiplicación de números enteros de distinto signo: el producto de dos números enteros de distinto signo es un entero negativo, cuyo valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.



Ejemplo:
- 12 · + 3 = - 36 + 11 · - 4 = - 44

Propiedades de la adición:

a) Clausura: 𝑠𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ ℤ.b) Conmutatividad: 𝑠𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎.
c) Asociatividad: 𝑠𝑖 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐).
d) Elemento neutro: 𝑠𝑖 𝑎 ∈ ℤ ⇒ ∃! 1 ∈ ℤ 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎.
e) Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición:
𝑠𝑖 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐.

El conjunto de los números enteros, con las operaciones de la multiplicación y adición, tieneestructura algebraica de anillo conmutativo con unidad, cuya notación es: ℤ , +,∙ es anillo conmutativo con unidad.

4.- División en ℤ: Se distinguen dos casos:

a) División de números enteros de igual signo: el cuociente de dos enteros de igual signo es un número positivo.

Ejemplos:

+ 18 : + 9 = + 2 - 90 : - 2 = + 45

b) División de números enteros de distinto signo: el cuociente de dosenteros de distinto signo es un número positivo.

Ejemplos:

+ 12 : - 6 = - 2 - 40 : + 4 = - 10

5. Operaciones combinadas: para resolver un ejercicio en el que aparecen varias operaciones, se debe resolver respetando la prioridad de las operaciones:

1° Paréntesis.
2° Potencias.
3° Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha)
4° Adiciones y sustracciones (de izquierda a derecha)...