Guia09 I 2010 A
Prof. Farith J. Briceño N.
Objetivos a cubrir
Código : MAT-CDI.9
Volumen de un sólido : Secciones transversales.
Volumen de un sólido de revolución : Método del disco. Método de la arándela.
Volumen de un sólido de revolución : Método de los cascarones.
Ejercicios resueltos
Ejemplo 1 : Sea S un sólido con base circular de radio 1. Lassecciones transversales paralelas, perpendiculares a la base,
son triángulos equiláteros. Encuentre el volumen del sólido.
Solución : Consideremos que el círculo está centrado en el origen de coordenadas, es decir, tiene ecuación x2 + y 2 = 1.
y
1
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-0.5
-1
Círculo de centro (0; 0) y radio 1. x2 + y 2 = 1
Sean pA (x; y1 ) y B (x; y2 ) puntos del círculo, así,
y=
1 x2, con lo cual la base del triángulo ABC,
es
p
p
jABj = 1 x2
1 x2 ;
es decir,
p
jABj = 2 1
x2
Dado que el triángulo es equilátero, el área de la sección transversal es
p
p
3 p
3
2
2 1 x2
A (x) = A ABC =
(base) =
4
4
y el volumen del sólido es
V =
Z1
1
A (x) dx =
Z1 p
3 1
x2
dx =
2
=
p
3 1
x2
p
4 3
:
3
1
F
Ejemplo 2 : Determinar el volumen de una cuña, cortada por un cilindrocircular por un plano, que pasando por el
diámetro de la base está inclinado respecto a ella formando un ángulo . El radio de la base es igual a R.
1
Solución : Tomamos el eje x como el diámetro de la base, por el que pasa el plano de corte y el eje y, perpendicular
al anterior. La ecuación de la circunferencia de la base será x2 + y 2 = R2 .
Se puede veri…car por triángulos semejantes que lasección transversal, ABC, de la cuña perpendicular al diámetro que
se encuentra a la distancia x del origen de coordenada 0 es un triángulo rectángulo isósceles. Si denotamos por y (x) a la
base y altura de este triángulo, entonces el área de la sección transversal, ABC, será igual a
A (x) = A
ABC
=
1
1
jABj jBCj = y (x) y (x) tan
2
2
=
y 2 (x)
tan :
2
Por lo tanto,
V =
ZR
A (x) dx =
R2
2
ZR
R
2
Despejando de x + y = R la expresión y, se tiene que y (x) =
V =
ZR
1
A (x) dx = 2
2
ZR
2
y (x) tan
y 2 (x)
tan
2
p
dx = tan
0
R
R2
dx
x2 , y puesto que y es una función par, obtenemos
ZR
R2
x2
dx =
2
tan :
3
0
F
Ejemplo 3 : Los ejes de dos cilindros horizontales, ambos de radio a, se intersecan en ángulo recto. Encuentre el volumen
de su sólido de intersección.Solución : Tenemos
-2
-2
-1
1
z
1
0.5
00
-0.5
-1
1
2
x
2
y
Sólido intersección entre los cilindros
Cilindros horizontales que se intersectan
perpendicularmente
Observemos que cada sección transversal es un cuadrado, cuyo lado se extiende a lo largo de los dos círculos que generan
los cilindros, así
Za
Za
p
2
16a3
V =
2 a2 x2 dx = 4
a2 x2 dx =
3
a
a
F
2
Ejemplo 4 : Hallar elvolumen del sólido que se genera al girar la región limitada por las curvas y = x3 + x2 + 2x + 1,
x = 1 y los ejes coordenados alrededor de la recta vertical x = 2.
Solución : Obtenemos la gra…ca de la región en el intervalo [0; 1]. Así
3
2
3
2
Si x = 0 entonces y = (0) + (0) + 2 (0) + 1 = 1
Si x = 1 entonces y = (1) + (1) + 2 (1) + 1 = 5
además, la función y = x3 + x2 + 2x + 1 es creciente en [0;1], ya que
y 0 = x3 + x2 + 2x + 1
0
= 3x2 + 2x + 2 > 0;
por lo que,
y
5
3.75
2.5
1.25
0
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
x
Región limitada por las curvas
y = x + x2 + 2x + 1; x = 1; eje x y eje y
3
Observe que el comportamiento de la función fuera del intervalo [0; 1] no es de interés para la obtención del volumen
del sólido.
Como debemos girar alrededor de la recta x = 2 usamos elmétodo de las capas (también conocido como el método
de las envolventes cilindrícas ó el método de los cascarones).
y
y
6
5
3.75
4
2.5
2
1.25
0
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
1.25
2.5
3.75
x
Rectángulo representativo para
el método de las capas
Sólido de revolución generado
Como es conocido, el volumen viene dado por
V =2
5
x
Z1
p (x) R (x) dx
0
donde
p (x) : distancia del rectángulo...
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