Guia1 N Reales 1

Gu´ıa 1 de Matem´aticas 1
Programa de Bachillerato. Universidad de Chile.
Marzo, 2015
”N´
umeros Reales”
1. Si x > 0, ¿es cierto que x−1 > 0?.
2. ¿Es cierto que si x > 0 entonces x +
relaci´onsimilar para x < 0?.

1
x

> 2?. ¿Puede encontrar una

3. Muestre que no existe x ∈ R tal que x2 + x + 1 = 0.
√
4. Muestre que si x > 0 e y > 0 entonces x+y
≥ xy. ¿En cuales casos se
2
cumple la igualdad?.5. Sea A ∈ R, muestre que el conjunto {A − x2 : x ∈ R} tiene un elemento
que es el m´as grande de todos.
6. Considere un rect´angulo de per´ımetro P . Muestre que los lados del
rect´angulo se puedenescribir en la forma P4 + a y P4 − a. Describa a en
t´erminos de los lados del rect´angulo.
7. Muestre que entre los rect´angulos de perimetro P , el cuadrado es el
que tiene mayor ´area.
8. ¿Cu´alesson los n´
umeros reales que est´an a distancia menor que 2 del
−3?.
9. ¿La ecuaci´on x2 + xy + y 2 = 0 tiene soluci´on nula?.
10. Si x < y, ¿es cierto que x2 < y 2 ?.

1

11. Sean x1 , x2 , x3 n´umeros reales ¿dir´ıa usted que se cumple:
|x1 + x2 + x3 | ≤ |x1 | + |x2 | + |x3 |?
Generalizando:
Sea n ∈ N y {xk : k ∈ {1, . . . , n}} un conjunto de n´
umeros reales. ¿Es
cierto que
|x1 + x2 + · · · +xn | ≤ |x1 | + |x2 | + · · · + |xn |?
En caso afirmativo, ¿C´omo lo demostrar´ıa? ( ).
12. Sean x e y n´
umeros reales. Considere el n´
umero
M (x, y) =

x + y + |x − y|
2

Muestre que M (x, y) es elm´aximo entre x e y. Encuentre una expresi´on
similar para el m´ınimo entre x e y.
13. (a) Si 0 < r < 1, muestre que existe c > 0 tal que r =

1
.
1+c

(b) Muestre que si c > 0 entonces (1 + c)n ≥ 1+ nc, para todo n ∈ N.
(c) Muestre que si 0 < r < 1, existe c > 0 tal que para cualquier valor
de n ∈ N, se tiene que rn ≤ 1c n1 .
14. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas ofalsas. En
ambos casos justifique ya sea demostrando o con un contraejemplo.
a) Si 3 <

1
x

entonces x < 13 .

b) Para todo n´
umero real b se verifica que
√
2
2
c) a + b = a + b, ∀ a, b ∈ R.

√

b2 =...