Guille

DESIGUALDADES E INTERVALOS

1.

INTERVALOS: Son regiones comprendidas entre dos números reales.
En general, si los extremos pertenecen al intervalo, se dice que cerrado,
si por el contrario no pertenecen al intervalo, se dice que es abierto. Si
uno de extremos pertenece al conjunto y el otro

no, se dice que

semiabierto o semicerrado.

CLASES DE INTERVALOS

COMO CONJUNTO

TIPODE INTERVALO

{x / a ≤ x ≤ b}

[a, b] CERRADO

]
{x / a ≤ x ≤ b}
{x / a 〈 x ≤ b}

{x / a ≤ x ≤ b}

REPRESENTACION
GEOMETRICA

[

]

[a, b ) SEMICERRADO ALA

a

b

[

)

IZQUIERDA

(a, b] SEMICERRADO A LA

a

b

(

]

DERECHA

a

b

(

)

a

b

(a, b ) ABIERTO

{x / x〉 a}

(a, α )

(

{x / x ≥ a}

[a,α )

[

{x / x〈b}

(− α , b ))

b

(α , b]

{x / x ≤ b}

{x / x ∈ ℜ}

]

b

(− α ,α )

R
0

Ejemplos

Dibujar los siguientes intervalos

1.

[2,5)

[
0

2.

(− 3, 6)

{x ≤ 4}

{x 〉 − 3}

)
6

0

]
0

4.

2

(
-3

3.

)
5

(
-3

0

4

5.

[− 1, 6]

[

]

-3

6

0

OPERACIONES BÁSICAS ENTRE INTERVALOS

Los intervalos se operan análogamentecomo los conjuntos. Mediante ejemplos
analizaremos,

estas

operaciones

como

unión,

intersección,

diferencia

complemento.
Sean A:

[− 3,6]

B:

[3,9)

C:

(− 5,4 )

Calcular

1)

A∩ B

[
-3

[
0

3

]

)
6

9

La intersección corresponde a la región común a los intervalos, es decir,

y

A ∩ B = [3,6]

2)

B ∪C

[

(
-5

0

)3

]

46

La unión corresponde a las regiones comprendidas por los dos conjuntos
(reunión), es decir BUC=

(− 5,6].

[

1)A-B

[
-3

0

]

3

6

)
9

La diferencia corresponde a la región que corresponde al intervalo A que no
pertenezca a B, es decir,

A − B = [− 3,3)

B

(

[

-5

4) C-A

-3

)
0

]

4

6

La diferencia corresponde, a laregión que pertenece A C y no pertenece a A,
es decir

C − A = (− 5 − 3 )
5) B' Solución como

B = [3,9 )

El conjunto de un intervalo, es lo que le falta al intervalo para llegar a los
reales.
En nuestro caso.

B = (− α ,3) ∪ (9, α )
Obsérvese, cuando se busca el complemento, se debe tener en cuenta que los
extremos no sean infinitos, cambian su condición, es decir se está cerrando seabre y viceversa.

6) C' El complemento, teniendo las observaciones del problema atender, es:
Solución: Como

C = (− 5 − 4 )

C ' = (− α ,−5] ∪ [4,α )

DESIGUALDADES
1. INTRODUCCION

ORDEN DE LA RECTA NUMERICA
Decir que

a〈b,

significa que a está a la izquierda de b, en la recta numérica

_______________a_____________________b________________R

Si

a 〈b ⇔ b − a〉 0, esdecir, que el conjunto de los números reales es un

conjunto ordenado.

PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES

Si

a, b y c

son números reales

1. TRICOTOMIA
Si a y b son número reales, se cumple una y solo una de las siguientes
propiedades:

a 〈b

o

a=b

o

a〉 b

2. TRANSITIVA
Si

a 〉 b , y b〉 c ⇒ a 〉 c

Ejemplo

12〉8 , y , 8〉 5 ⇒ 12〉 5
3. ADITIVA
Si

a〉 b ⇒ a + c 〉 b +c

Ejemplo
Si

9 〉 2 , entonces, 9 + 5 〉 2 + 5
4. MULTIPLICATIVA

⇒ 14 〉 7

a) Si
Si

c 〉 o, se cumple que
a 〉 b ⇒ a.c 〉 b.c

Ejemplo: Sea

8 〉 − 2 y c = 4 ⇒ 8.4 〉 − 2.4
⇒ 32 〉 − 8

b) Si

a 〉 b ⇒ a.c 〈 b.c

Ejemplo: Si

− 3 〉 − 7 ⇒ (− 3) (− 5) 〈 (− 7 ) (− 5)
⇒ 15 〈 35

5. Si

a 〉 b y c〉 d ⇒ a + c 〉 b + d

Ejemplo: Si

6. Si

a〉 0 ⇒ − a 〈 0

Ejemplo:

7.8〉 5 y 7〉 4 ⇒ 8 + 7 〉 5 + 1 ⇒ 15〉 9

si 8〉 0 ⇒ − 8〈 0

Si a ≠ 0, a 2 〉 0
Ejemplos

Si 8〉 0 ⇒ 82 = 64 〉 0

Si − 7〈 0 ⇒ (− 7 ) = 49〉 0
2

8.

Si a〉 0 ⇒

1
〉0
a

Ejemplo

Si 7 〉 0 ⇒

9.

1
〉0
7

Si a〉b y c〉 0, entonces,

a b
〉
c
c

Ejemplo

Si 10〉 5 ⇒

10.

10 5
〉 ⇒ 2〉1
5 5

Si a〉 b y c〈o ⇒

a b
〈
c c

Ejemplo:

Si 24 〉 16 ⇒

24 16
〈...