Guion Sistemas 2GDL 3

3.1.- Introducción a Vibraciones de Sistemas de 2 Grados de Libertad
3.1.1.- Introducción.
Se dice que un sistema tiene dos grados de libertad, cuando se requieren dos
coordenadas independientes para describir su movimiento. El estudio de estos
sistemas sirve de paso previo para entender el funcionamiento de los sistemas de
varios grados de libertad.
Hasta el momento, se han estudiado lossistemas con 1 gdl viéndose que:
 Si un sistema no amortiguado es sacado de su posición de equilibrio y dejado
en libertad, comienza a oscilar armónicamente con una frecuencia
característica del sistema llamada frecuencia natural.
 El fenómeno de la resonancia se presenta al excitar el sistema con una fuerza
armónica de frecuencia igual a la frecuencia natural.
Los sistemas con 2 gdl presentanimportantes diferencias respecto a los sistemas
con 1 gdl; de hecho, su comportamiento es cualitativamente muy similar al de un
sistema con N gdl. Sin embargo, si bien los conceptos matemáticos y físicos que
aparecen en los sistemas con 2 gdl son idénticos a los de sistemas con N gdl,
tienen la ventaja de que sus ecuaciones algebraicas son todavía relativamente
manejables y los ejemplos accesibles.Permiten, por ello, una formulación analítica
sencilla y no dependiente de la algebra matricial.

Figura 3-1.- Sistemas mecánicos con 2 gdl

Se verá como si un sistema con 2 gdl sin amortiguamiento es desplazado de su
posición de equilibro y dejado en libertad, no siempre realiza un movimiento
armónico y ni tan siquiera periódico, sino solo para determinadas formas (tantas
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como gdl) de perturbar elequilibrio. Solo para dos tipos (2 gdl) de perturbaciones
el movimiento subsiguiente es armónico y, en general, con distinta frecuencia para
cada tipo de perturbación.
Un sistema con 2 gdl tendrá, por lo tanto, dos frecuencias naturales y, sometido a
una excitación armónica, llegara a la condición de resonancia para dos frecuencias
de excitación diferentes. El estudio del comportamiento dinámicode este tipo de
sistemas facilitara la introducción de conceptos como respuesta síncrona,
frecuencias y modos naturales de vibración y análisis modal.
3.2.- Ecuaciones del movimiento 2GDL Libre
Considerando el sistema de dos masa que se deslizan sin rozamiento

Y su diagrama de cuerpo libre es

Donde X1 y X2 son X1(t) y X2(t), aplicando la segunda ley de newton a cada masa
se tiene:

••
m1X1 =-K1X1 + K2(X1-X2)
••
m2X2 = -K2(X1-X2)
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Ordenando los términos:
••
m1 X 1
+ CX1 - K2X2=0
••
m2 X 2 - K 1
X1 + K2X2=0
Esto representan un sistema de ecuaciones diferenciales acoplada y de
coeficientes constantes, para la resolución se requiere de cuatro condiciones
iniciales, dos para cada variable, el desplazamiento y velocidades iniciales.
Existen diferentes metodologías para resolver el sistemade ecuaciones, no es
posible resolver las ecuaciones en forma independiente ya que cada una contiene
las variables, el decir, el sistema esta acoplado. Esto indica físicamente que el
movimiento X1 afecta a X2 y viceversa. Una forma de resolver el sistema de
ecuaciones es escribirlo en forma matricial:
Ordenando los términos:

••

m1 X1+ (K1+K2) X1 - K2X2=0

••

m2 X 2 - K 1

X1

+ K2X2=0

Que puedeescribirse como:

••

M X + KX = 0
En donde M se denomina matriz de masas y K matriz de rigidez, estas matrices
tienen la propiedad de ser simétricas es decir que sus transpuestas son iguales, es
decir: M = M T ; K = K T condición que será empleada.
Para resolver la ecuación diferencial de 1GDL se asumió una solución armónica y
luego con las condiciones iniciales se determinaron las contantes.Esta misma
metodología puede emplearse para los sistemas de ecuaciones 2GDL, si se asume
la resolución de la forma:

X(t) = uejωt
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Donde u es un vector de constantes a ser determinadas, ω es una constante
también a ser determinada, j =√(-1) notar que ejωt representa el movimiento
armónico, ya que : eωj = sen (ωt) + jCos (ωt), el vector u debe ser diferente de cero
de lo contrario, el resultado...