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El área (abreviado con el símbolo a)1 es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas Unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimode superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensormétrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea. Área de un triángulo


Áreas.
El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:4

donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a labase. (se puede considerar cualquier lado como base)
Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:

donde a y b son los catetos.
Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplicar la fórmula de Herón.

donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetrodel triángulo.
Si el triángulo es equilátero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3:

donde a es un lado del triángulo.
[editar]Área de un cuadrilátero


Trapezoide.
El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman.

El área también se puede obtener mediantetriangulación:

Siendo:
el ángulo comprendido entre los lados y .
el ángulo comprendido entre los lados y .
El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:4

El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:

El cuadrado es el polígono regularde cuatro lados; es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:4

El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:4

El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene unárea que viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):4

[editar]Área del círculo y la elipse
El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:5



El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puede calcularse mediante la diferencia entre las integrales deambas funciones.
El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:6

[editar]Área delimitada entre dos funciones
Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: y en el intervalo .
EjemploSi se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función en el intervalo , se utiliza la ecuación anterior, en este caso: entonces evaluando la integral, se obtiene:

Por lo que se concluye que el área delimitada es .
El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.
[editar]Relación área-perímetro
Dada una curva simple...