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APLICACIONES DE LA DERIVADA

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Una de las aplicaciones más comunes del cálculo consiste en hallar máximos y mínimos. Piénsese cuan a menudo oímos o leemos términos comomáximo beneficio, mínimo coste, mínimo tie











Sustituyendo en la ecuación del volumen, obtenemosmpo, voltaje máximo, tamaño óptimo, área mínima, máxima intensidad o distancia máxima.Pues bien, debemos hacer uso de las derivadas, pero antes vamos a repasar el procedimiento para resolver problemas aplicados de máximos y mínimos.

1. Asignar símbolos a todas lascantidades dadas y a las cantidades a determinar. Si es posible, hágase un dibujo esquemático.

2. Escribir una ecuación primaria para la magnitud que se desea hacer máxima o mínima.

3. Reducir laecuación primaria a otra que tenga una sola variable independiente. Esto puede exigir el uso de ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria.

4. Determinarel dominio de la ecuación primaria. Esto es, aquellos valores para los que el problema propuesto tenga sentido.

5. Hallar el valor máximo o mínimo por medio de las técnicas de derivación.

a.Nota: al efectuar el paso 5, recuérdese que para determinar el máximo o el mínimo de una función continuaf sobre un intervalo cerrado, comparamos los valores de f en sus extremos relativos con susvalores en los puntos terminales del intervalo.


APLICACIONES DE LA DERIVADA

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

EJEMPLO 1

Se quiere construir una caja abierta con base cuadrada, empleando 108 pulgadascuadradas de material. ¿Qué dimensiones producirán una caja de volumen máximo?

SOLUCION



Como la caja tiene base cuadrada, su volumen es:
V = X2 h ecuación primaria

Además, como estáabierta por su parte superior, su área es:

S = (área de la base) + (área de los cuatro laterales)

S = X2 + 4Xh = 108 ecuación segunda

Ya que deseamos maximizar V, la expresaremos como...