Herramientas matriciales

MÓDULO 3: HERRAMIENTAS MATRICIALES





DETERMINANTE


Asociada a cada matriz cuadrada A existe un número real al cual se denomina determinante de A y se simboliza ( A( .

Definición formal de determinante


Veamos como se obtiene el determinante en los casos particulares de una matriz de orden 2 y una matriz de orden 3.

Cálculo del determinante de una matriz 2x2:a11 a12
Sea A = ( ( A( = a11 . a22 ( a12 . a21
a21 a22

Es decir que el determinante para el caso de una matriz de orden 2 se obtiene como la resta entre el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

Ejemplo:
2 –3
Si A =( ( A( = 2 . 8 – (–3) . 5 = 31
5 8


Cálculo del determinante de una matriz 3x3.

Sea la matriz

a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33

El cálculo del determinante se realiza a través de la siguiente fórmula:

( A( = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ( a13 a22 a31 ( a12 a21 a33 ( a11 a23 a32Ejemplo:

2 -3 1
Si A = 1 0 2 ( ( A( = 2 .0.1 + (-3) .2 .5 + 1.1.8 – 1.0.5 – (-3) .1.1 – 2.2.8 = -51
5 8 1


Observar que para calcular el determinante se hacen todos los productos posibles de tres elementos que se encuentren en filas y columnas diferentes y luego se suman los tres primeros y se restan los tres productosrestantes
Este mismo cálculo se puede efectuar a través de una regla práctica que se conoce con el nombre de Regla de Sarrus.

El cálculo de determinantes de matrices de mayor orden puede resultar complicado por ello se recurre al uso de propiedades, algunas de las cuales se presentan a continuación.


Propiedades de los determinantes:

1) Si se intercambian dos líneas paralelas el determinantecambia de signo pero no de valor absoluto.
Ej.
2 -3
Si A = ( ( A( = 31
5 8

-3 2
Intercambiemos las dos columnas de A obteniendo una matriz B = ( ( B( =-318 5

Observemos que efectivamente la propiedad se verifica .

2) Si se multiplica una línea de una matriz por una constante el determinante queda multiplicado por dicha constante.

Ej.: Multipliquemos por 3 la primera fila de la matriz A del ejemplo anterior obteniendo una matriz

6 -9
C =( ( C( = 48 – (-45) = 93 esto es la constante 3 por el det. de A
5 8

3) Si se adiciona a una línea una constante por otra paralela el determinante no se modifica.


4) El determinante de la transpuesta de una matriz es igual al determinante de la matriz original

En símbolos: ( A' (= ( A (

5) El determinante del producto de dos matricescuadradas es igual al producto de los determinantes de las respectivas matrices factores.

En símbolos: (A . B ( = ( A ( . ( B (

6) El determinante de una constante por una matriz es igual a la constante elevada al orden de la matriz por el determinante de la matriz.

En símbolos: ( k A (= kn ( A ( para todo k (0 , siendo n el orden de A.

7) El determinante de una matriz triangular óde una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

En particular el determinante de la matriz identidad es igual a 1.
( I ( = 1

8) El determinante de una matriz es cero si y sólo si sus líneas paralelas (filas ó columnas) constituyen un conjunto de vectores L.D.

En particular el determinante de una matriz será cero:
a) Si la matriz tiene una...