Heterosedasticidad

CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE LA HETEROCEDASTICIDAD EN EL MODELO BÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL TRATAMIENTO CON E-VIEWS Rafael de Arce y Ramón Mahía
Dpto. de Economía Aplicada Universidad Autónoma de Madrid rafael.dearce@uam.es ramon.mahia@uam.es

Primera versión: enero de 2001 Revisado febrero 2009 I.-Definición: ¿Qué es la Heterocedasticidad?1
El modelo básico de regresión lineal exige, comohipótesis básica, que la varianza de las perturbaciones aleatorias, condicional a los valores de los regresores X, sea constante:

Var (u i / X i ) = σ 2
aunque generalmente la hipótesis se formula sin mencionar el carácter condicional de la varianza, simplemente como:

Var (u i ) = σ 2

Para comprender de forma intuitiva esta restricción podemos razonar del siguiente modo. Iguales varianzas de“u” para los distintos valores de “x” implica necesariamente igual dispersión (varianza) de “y” para distintos valores de “x”2 lo que implica necesariamente que la recta de regresión de “Y” sobre “X” va a representar con igual precisión la relación entre “x” e “y” independientemente de los valores de “x”. Esto es muy importante porque debe recordarse que el análisis de regresión es un análisis deregresión condicional de “y” sobre “x” lo cual implica, por lógica, que si se desea obtener un parámetro de relación estable y útil entre ambas variables, los valores muestrales de “y” deben mostrarse igualmente dispersos ante variaciones de “x”. Dicho de otro modo, y en términos del error, aunque el error puede ser mayor para mayores valores de “x” (no se fuerza que el error tenga un tamaño igualpara el recorrido de “x”) la dispersión del error alrededor de la recta de regresión será la misma. Esto permite considerar como igualmente válidos todos los datos muestrales de los regresores “x” para determinar la relación condicional de “y” a los valores de “x” sin tener que ponderar más o menos unos valores u otros de “x” en función de la menor o mayor dispersión de “y” en los distintos casos.En un plano puramente analítico, la matriz de varianzas-covarianzas de las perturbaciones de un modelo heterocedástico se representaría del siguiente modo:

Etimológicamente, por cierto, la palabra deriva de “hetero” (distinto) y el verbo griego “skedanime” que significa dispersar o esparcir. 2 La varianza de “U” y la “Y” coinciden

1

 E (u1 ) 2  E (u1u 2 ) E (u 2 ) 2 E (UU ' ) =     E (u1u n ) E (u 2 u n )

... ... ...

  E (u1 ) 2   = 0   0   ... E (u n ) 2   0   .

0 E (u 2 ) 2 0 0

... ... ...

   ≠ σ 2 I = σ 2Σ i n   ... E (u n ) 2   0 0 0

Como ya se vio en el capítulo introductorio previo sobre el estimador de Aitken, en el caso concreto de la presencia de una matriz de varianzas-covarianzas no escalar de las perturbacionesaleatorias, la estimación máximo verosímil de los parámetros del modelo resulta ahora:

β MCG = [X ' Σ −1 X ] X ' Σ −1Y
−1

Un estimador que goza de buenas propiedades estadísticas (lineal, insesgado, eficiente y consistente ).

II.- Causas frecuentes de heterocedasticidad
Como siempre solemos apuntar en el análisis de las causas de los incumplimientos de hipótesis del MBRL, debe decirse, enprimer lugar, que muchos fenómenos de interés son, por naturaleza, de carácter heterocedástico. La distribución del gasto, la renta, el ahorro, los beneficios empresariales, …. cientos de ejemplos se corresponden más con una distribución heterocedástica que homocedástica. La variabilidad de los fenómenos económicos, medida con muestras temporales o transversales, que justifica el análisis deregresión, no sólo nos muestra variación en las medias sino también, y a veces de forma fundamental, evidentes comportamientos heterocedásticos. En todo caso, y más allá de la heterocedasticidad “natural”, conviene identificar algunas situaciones específicas, habituales en la econometría empírica, asociadas al riesgo de heterocedasticidad. Aunque las que se citan a continuación no son las únicas...